USP 2018 Matemática - Questões

Em uma competição de vôlei, estão inscritos $5$ times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade $\dfrac{1}{2}$ de vencer.

1. a) Explique por que $2$ times não podem empatar na classificação com $4$ vitórias cada um.
   

2. b) Qual é a probabilidade de que o primeiro classificado termine a competição com $4$ vitórias?
   

3. c) Qual é a probabilidade de que os $5$ times terminem empatados na classificação?
   

Considere as funções $f:\ \left[-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2}\right]\ \to\ \left[-1,\ 1\right]$ e $g:\ [0,\ \pi]\ \to\ [-1,\ 1]$ definidas por $f(x)=\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ (x($ e $g(x)=\cos\ (x($. Sendo $f$ e $g$ bijetoras, existem funções $f^{-1}$ e $g^{-1}$ tais que $(f^{-1}\circ f) = (f\circ f^{-1})=id$ e $(g^{-1}\circ g) = (g\circ g^{-1}) = id$, em que $id$ é a função identidade.

1. a) Para $0\le a \le 1$, mostre que $\left(g\circ f^{-1}\right)(\alpha)=\sqrt{1-\alpha^2}$.
   

2. b) Mostre $f^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)+g^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4}$.
   

Considere a sequência $a_1=6$, $a_2=4$, $a_3=1$, $a_4=2$, e $a_n=a_{n-4}$, para $n\ge 5$. Defina $S^k_n=a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{n+k}$ para $k\ge 0$, isto é, $S^k_n$ é a soma de $k+1$ termos consecutivos da sequência começando do $n$-ésimo, por exemplo, $S^1_2=4+1=5$.

1. a) Encontre $n$ e $k$ tal que $S^k_n=20$.
   

2. b) Para cada inteiro $j$, $1\ge j\ge 12$, encontre $n$ e $k$ tal que $S^k_n=j$.
   

3. c) Mostre que, para qualquer inteiro $j$, $j\ge 1$, existem inteiros $n\ge 1$ e $k\ge 0$ tais que $S^k_n=j$.
   

Uma cerca tem formato de um polígono regular de $n$ lados, cada lado com comprimento $\ell$. A égua Estrela pasta amarrada à cerca por uma corda, também de comprimento $\ell$, no exterior da região delimitada pelo polígono. Calcule a área disponível para pasto supondo que:

1. a) a extremidade da corda presa à cerca está fixada num dos vértices do polígono;
   

2. b) a extremidade da corda pudesse deslizar livremente ao longo de todo o perímetro da cerca.
   

Em um torneio de xadrez, há $2n$ participantes.

1. a) Na primeira rodada, há $n$ jogos. Calcule, em função de $n$, o número de possibilidades para se fazer o emparceiramento da primeira rodada, sem levar em conta a cor das peças.
   

2. b) Suponha que $12$ jogadores participem do torneio, dos quais $6$ sejam homens e $6$ sejam mulheres. Qual é a probabilidade de que, na primeira rodada, só haja confrontos entre jogadores do mesmo sexo?