EN 2009 Matemática - Questões

Ao escrevermos $\dfrac{x^2}{x^4+1}=\dfrac{Ax+B}{a_1x^2+b_1x+c_1}+\dfrac{Cx+D}{a_2x^2+b_2x+c_2}$ onde $a_i,b_i,c_i\ (1\leq i \leq 2)$ e $A,B,C$ e $D$ são constantes reais, podemos afirmar que $A^2+C^2$ vale

Sabendo que a equação $2x=3\sec \theta$, $\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ define implicitamente $\theta$ como uma função de $x$, considere a função $f$ de variável real $x$ onde $f(x)$ é o valor da expressão $\frac{5}{2}\csc\theta +\frac{2}{3} \sin2\theta$ em termos de $x$. Qual o valor do produto $(x^2\sqrt{4x^2 -9}f(x)$?

Sejam:

• $f$ uma função real de variável real definida por $f(x)=\arctan\left(\frac{x^3}{3}-x\right)$, $x>1$ e

• $L$ a reta tangente ao gráfico da função $y=f^{-1}(x)$ no ponto $(0, f^{-1}(0))$.

Quanto mede, em unidades de área, a área do triângulo formado pela reta $L$ e os eixos coordenados?

Considere:

• $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$, $\vec{v_3}$ e $\vec{v_4}$ vetores não nulos no $\mathbb{R}^3$

• a matriz $[v_{ij}]$ que descreve o produto escalar de $\vec{v_i}$ por $\vec{v_j}$, $1\leq i\leq4$, $1\leq j \leq 4$ e que é dada abaixo:$$[v_{ij}] = {\begin{bmatrix} 1 & \frac{2\sqrt2}{3} & \frac{-\sqrt3}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{2\sqrt2}{3} & 2 & -1 & 2 \\ \frac{-\sqrt3}{2} & -1 & 3 & \sqrt3 \\ \frac{1}{3} & 2 & \sqrt3 & 4 \end{bmatrix}}$$

• o triângulo $PQR$ onde $\vec{QP} =\vec{v_2}$ e $\vec{QR} =\vec{v_3}$.

Qual o volume do prisma, cuja base é o triângulo $PQR$ e a altura $h$ igual a duas unidades de comprimento?

Os gráficos das funções reais $f$ e $g$ de variável real, definidas por $f(x)=4-x^2$ e $g(x)=\frac{5-x}{2}$ interceptam-se nos pontos $A=(a,f(a))$ e $B=(b,f(b))$, $a\leq b$. Considere os polígonos $CAPBD$ onde $C$ e $D$ são as projeções ortogonais de $A$ e $B$ respectivamente sobre o eixo $x$ e $P(x,y)$, $a\leq x\leq b$ um ponto qualquer do gráfico da $f$. Dentre esses polígonos , seja $\Delta$ , aquele que tem área máxima. Qual o valor da área de $\Delta$, em unidades de área?