USP 2012 Matemática - Questões

O polinômio $p(x) = x^4 + ax^3+ bx^2+ cx-8$, em que $a$, $b$, $c$ são números reais, tem o número complexo $1+i$ como raiz, bem como duas raízes simétricas.

1. A) Determine $a$, $b$, $c$ e as raízes de $p(x)$.

2. B) Subtraia 1 de cada uma das raízes de $p(x)$ e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes.

1. a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas $16$ crianças podem ser separadas nos grupos $A$, $B$, $C$ e $D$, cada um deles com $4$ jogadores, sabendo que os grupos $A$ e $C$ serão formados apenas por meninas e o grupo $B$, apenas por meninos?
   

2. b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é $\dfrac{3}{5}$, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio.
   

Determine para quais valores reais de $x$ é verdadeira a desigualdade $$\left|x^2-10x\ +\ 21\right|\le \left|3x-15\right|$$

Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por

$$a_1=1\ +\ x,\ \ \ \ \ \ \ \ a_2=6\cdot x,\ \ \ \ \ \ \ \ a_3=2\cdot x^2+4$$

em que $x$ é um número real.

1. a) Determine os possíveis valores de $x$.
   

2. b) Calcule a soma dos $100$ primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de $x$ encontrado no item a).
   

Em uma festa com $n$ pessoas, em um dado instante, $31$ mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de $2$ homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, $55$ homens se retiraram e sobraram, a seguir, convidados na razão de $3$ mulheres para cada homem. O número $n$ de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a