USP 2001 Matemática - Questões

A diferença entre dois números inteiros positivos é $10$. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em $4$ o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo $39$ como quociente e $22$ como resto. Determine os dois números.

A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta $r$: $y=5x-13$, e um de seus catetos está contido na reta $s$: $y=x-1$. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma $(k,\ 5)$ sobre a reta $s$, determine

1. a) Todos os vértices do triângulo;
   

2. b) A área do triângulo.
   

1. a) Calcule ${\cos\ 3\theta}$ em função de ${\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \theta}$ e de ${\cos\ \theta \ }$.
   

2. b) Calcule ${\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ 3\theta}$ em função de ${\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \theta}$ e de ${\cos\ \theta}$.
   

3. c) Para $0<\theta <\dfrac{\pi}{2}$, resolva a equação: $\hspace{2pt}\mathrm{sen}^2\ \theta +\dfrac{1}{2}{\cos\ \theta \ }+1=\dfrac{\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ 3\theta }{\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \theta }-\dfrac{\cos\ 3\theta}{\cos\ \theta}$
   

Considere dois números reais $\lambda$ e $\mu$ tais que $\lambda \neq -1$, $\mu \neq 1$ e $\lambda \mu \neq 0$.

1. a) Determine uma relação entre $\lambda$ e $\mu$, para que as equações polinomiais $\lambda x^3-\mu x^2-x-\left(\lambda +1\right)=0$ e $\lambda x^2-x-\left(\lambda +1\right)=0$ possuam uma raiz comum.
   

2. b) Nesse caso, determine a raiz comum.
   

No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano, considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo $i$, a unidade imaginária, como um de seus vértices.

1. a) Determine os vértices do hexágono.
   

2. b) Determine os coeficientes de um polinômio de grau $6$, cujas raízes sejam os vértices do hexágono.