USP 1989 Matemática - Questões

1. a) Em uma circunferência são dados um diâmetro $AB$ e um ponto $C$ diferente de $A$ e de $B$. Prova que o ângulo $A\hat{C}B$ é reto.
   

2. b) Dados num plano uma circunferência de centro $O$ e um ponto externo $P$, descreva o processo que permite construir, com régua e compasso, as retas que passam por $P$ e são tangentes à circunferência.
   

Resolva o sistema linear

$$\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 2 \\ x - y + mz = n \\ x + 3y + 2z = 1 \end{array} \right.$$

nos seguintes casos:

1. a) $m = 0$ e $n = 0$;
   

2. b) $m = -2$ e $n=0$;
   

3. c) $m=-2$ e $n=5$.
   

A equação $x^3 - 2x^2-x+14=0$ tem uma raiz inteira $r$ e duas raízes imaginárias $s$ e $t$.

1. a) Determine as raízes $r$, $s$ e $t$;
   

2. b) Escreva a equação cujas raízes são $\dfrac{1}{r}$, $\dfrac{1}{s}$ e $\dfrac{1}{t}$.
   

Um açougue vende dois tipos de carne: de $1ª$ a R$ $1.200,00$ o quilo e de $2ª$ a R$ $1.000,00$ o quilo. Se um cliente pagou R$ $1.050,00$ por um quilo de carne, então necessariamente ele comprou

Dois pontos materiais $A$ e $B$ deslocam-se com velocidades constantes sobre uma circunferência de raio $r= \sqrt{8}\ \text{m}$ partindo de um mesmo ponto $O$. Se o ponto $A$ se desloca no sentido horário com o triplo da velocidade de $B$, que se desloca no sentido anti-horário, então o comprimento da corda que liga o ponto de partida ao ponto do primeiro encontro é