UNICAMP 2009 Física - Questões

Os avanços tecnológicos nos meios de transporte reduziram de forma significativa o tempo de viagem ao redor do mundo. Em $2008$ foram comemorados os $100$ anos da chegada em Santos do navio Kasato Maru, que, partindo de Tóquio, trouxe ao Brasil os primeiros imigrantes japoneses. A viagem durou cerca de $50$ dias. Atualmente, uma viagem de avião entre São Paulo e Tóquio dura em média $24$ horas. A velocidade escalar média de um avião comercial no trecho São Paulo-Tóquio é de $800\ km/h$.

1. a) O comprimento da trajetória realizada pelo Kasato Maru é igual a aproximadamente duas vezes o comprimento da trajetória do avião no trecho São Paulo-Tóquio. Calcule a velocidade escalar média do navio em sua viagem ao Brasil.
   

2. b) A conquista espacial possibilitou uma viagem do homem à Lua realizada em poucos dias e proporcionou a máxima velocidade de deslocamento que um ser humano já experimentou. Considere um foguete subindo com uma aceleração resultante constante de módulo $a_R=10\ m/s^2$ e calcule o tempo que o foguete leva para percorrer uma distância de $800 \ km$, a partir do repouso.
   

O aperfeiçoamento de aeronaves que se deslocam em altas velocidades exigiu o entendimento das forças que atuam sobre um corpo em movimento num fluido. Para isso, projetistas realizam testes aerodinâmicos com protótipos em túneis de vento. Para que o resultado dos testes corresponda à situação real das aeronaves em voo, é preciso que ambos sejam caracterizados por valores similares de uma quantidade conhecida como número de Reynolds $R$. Esse número é definido como:

$$R=\dfrac {v\cdot L}{b}$$

onde $v$ é uma velocidade típica do movimento, $L$ é um comprimento característico do corpo que se move e $b$ é uma constante que depende do fluido.

1. a) Faça uma estimativa do comprimento total das asas e da velocidade de um avião e calcule o seu número de Reynolds. Para o ar, $b_{\text{ar}}\cong 1,5\cdot {10}^{-5}\ m^2/s$.
   

2. b) Uma situação de importância biotecnológica é o movimento de um micro-organismo num meio aquoso, que determina seu gasto energético e sua capacidade de encontrar alimento. O valor típico do número de Reynolds nesse caso é de cerca de $1,0\cdot {10}^{-5}$, bastante diferente daquele referente ao movimento de um avião no ar. Sabendo que uma bactéria de $2,0 \ \mu m$ de comprimento tem massa de $6,0\cdot {10}^{-16}\ kg$, encontre a sua energia cinética média. Para a água, $b_{\text{água}}\cong 1,0\cdot {10}^{-6}\ m^2/s$.
   

A piezeletricidade também é importante nos relógios modernos que usam as vibrações de um cristal de quartzo como padrão de tempo e apresentam grande estabilidade com respeito a variações de temperatura.

1. a) Pode-se utilizar uma analogia entre as vibrações de um cristal de massa m e aquelas de um corpo de mesma massa preso a uma mola. Por exemplo: a frequência de vibração do cristal e a sua energia potencial elástica também são dadas por: $$f=\dfrac {1}{2\pi }\cdot \sqrt{\dfrac {k}{m} }$$ $$E_{p} =\dfrac {1}{2}\cdot k\cdot \Delta x^{2},$$ respectivamente, onde $k$ é a propriedade do cristal análoga à constante elástica da mola e $\Delta x$ é o análogo da sua deformação. Um cristal de massa $m=5,0\ g$ oscila com uma frequência de $30\ kHz$. Usando essa analogia, calcule a energia potencial elástica do cristal para $\Delta x=0,020\ \mu m$.
   

2. b) Em $1582$, Galileu mostrou a utilidade do movimento pendular na construção de relógios. O período de um pêndulo simples depende do seu comprimento $L$. Este varia com a temperatura, o que produz pequenas alterações no período. No verão, um pêndulo com $L=90\ cm$ executa um certo número de oscilações durante um tempo $t=1800\ s$. Calcule em quanto tempo esse pêndulo executará o mesmo número de oscilações no inverno, se com a diminuição da temperatura seu comprimento variar $0,20\ cm$, em módulo. Para uma pequena variação de comprimento $\Delta L$, a variação correspondente no tempo das oscilações $\Delta t$ é dada por: $$\dfrac {\Delta t}{t} =\dfrac {1}{2} \dfrac {\Delta L}{L}$$ Assim, $\Delta t$ pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de $\Delta L$.
   

A evolução da sociedade tem aumentado a demanda por energia limpa e renovável. Tipicamente, uma roda d´água de moinho produz cerca de $40\ kWh$ (ou $1,4\cdot 108\ J$) diários. Por outro lado, usinas nucleares fornecem em torno de $20\%$ da eletricidade do mundo e funcionam através de processos controlados de fissão nuclear em cadeia.

1. a) Um sitiante pretende instalar em sua propriedade uma roda d´água e a ela acoplar um gerador elétrico. A partir do fluxo de água disponível e do tipo de roda d´água, ele avalia que a velocidade linear de um ponto da borda externa da roda deve ser $v=2,4\ m/s$. Além disso, para que o gerador funcione adequadamente, a frequência de rotação da roda d´água deve ser igual a $0,20\ Hz$. Qual é o raio da roda d´água a ser instalada? Use $\pi =3$.
   

2. b) Numa usina nuclear, a diferença de massa $\Delta m$ entre os reagentes e os produtos da reação de fissão é convertida em energia, segundo a equação de Einstein $E=\Delta m\cdot c^2$, onde $c=3\cdot {10}^8\ m/s$. Uma das reações de fissão que podem ocorrer em uma usina nuclear é expressa de forma aproximada por: $$(1000\ g\ U_{235}) + (4\ g\ \text{de Nêutrons}) {\to} (612 \ g \ \text{de}\ Ba_{144}) + (378 \ g\ \text{de}\ Kr_{89}) + (13\ g \ \text{de nêutrons}) + \text{energia}$$ Calcule a quantidade de energia liberada na reação de fissão descrita acima.
   

A Física de Partículas nasceu com a descoberta do elétron, em $1897$. Em seguida foram descobertos o próton, o nêutron e várias outras partículas, dentre elas o píon, em $1947$, com a participação do brasileiro César Lattes.

1. a) Num experimento similar ao que levou à descoberta do nêutron, em $1932$, um nêutron de massa $m$ desconhecida e velocidade $v_0=4\ \times \ {10}^7\ m/s$ colide frontalmente com um átomo de nitrogênio de massa $M=14\ u$ (unidade de massa atômica) que se encontra em repouso. Após a colisão, o nêutron retorna com velocidade $v'$ e o átomo de nitrogênio adquire uma velocidade $v=5\ \times \ {10}^6\ m/s$. Em consequência da conservação da energia cinética, a velocidade de afastamento das partículas é igual à velocidade de aproximação. Qual é a massa $m$, em unidades de massa atômica, encontrada para o nêutron no experimento?
   

2. b) O Grande Colisor de Hádrons (Large Hadron Collider-$LHC$) é um acelerador de partículas que tem, entre outros propósitos, o de detectar uma partícula, prevista teoricamente, chamada bóson de Higgs. Para esse fim, um próton com energia de $E=7\ \times \ {10}^{12}\ eV$ colide frontalmente com outro próton de mesma energia produzindo muitas partículas. O comprimento de onda ($\lambda$) de uma partícula fornece o tamanho típico que pode ser observado quando a partícula interage com outra. No caso dos prótons do $LHC$, $$E=\dfrac{h\cdot c}{\lambda },$$ onde $h=4\ \times \ {10}^{-15}\ eV\cdot s$, e $c=3\ \times \ {10}^8\ m/s$. Qual é o comprimento de onda dos prótons do $LHC$?