UFPR 2015 Matemática - Questões

Para simular as diversas maneiras pelas quais uma corrente elétrica flui num determinado circuito, é necessário estudar o seguinte sistema linear em função da constante $k$: $$\left\{ \begin{array}{c} x-2y+z=5 \\ 2x+y+3z=2 \\ 3x-y+k^2z=k+5 \end{array} \right.$$

1. a) Qual a solução do sistema, para $k=0$?
   

2. b) Discuta o sistema em função do valor $k$.
   

Suponha que um bloco retangular de madeira possui dimensões $n\ \text{cm}$, $(n+1)\ \text{cm}$ e $(n+2)\ \text{cm}$, sendo $n$ um número inteiro positivo. O bloco foi pintado na cor vermelha e depois cortado em cubos de aresta $1\ \text{cm}$, por meio de cortes paralelos às faces.

1. a) Qual deve ser o valor de $n$ para que 22 cubos possuam exatamente uma face vermelha?
   

2. b) Qual deve ser o valor de $n$ para que 24 cubos não possuam nenhuma face vermelha?
   

Considere a expressão $\left(x+\dfrac{1}{2x^{3} } \right)^{n}$, em que $n$ é um número inteiro positivo.

1. a) Se $n=4$, qual é o termo independente no desenvolvimento binomial da expressão?
   

2. b) Qual deve ser o valor de $n$ para que o termo independente da expressão seja igual a 7?
   

Considere as funções $f$ e $g$, definidas por $f\left(x\right)=cx+1$ e $g\left(x\right)=x+c$, sendo $c$ uma constante e $x\in \mathbb{R}$.

1. a) Calcule os valores de $c$ para os quais $f\circ g=g\circ f$.
   

2. b) Calcule os valores de $c$ para os quais $g=cf^{-1}$, sendo $f^{-1}$ a função inversa de $f$.
   

Qual é o número mínimo de voltas completas que a menor das engrenagens deve realizar para que as quatro flechas fiquem alinhadas da mesma maneira novamente?