UFPR 2003 Matemática - Questões

Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços, os estudantes receberam de uma empresa a seguinte proposta, na qual o preço de cada passagem depende do total de passageiros: cada passageiro pagará R$ 90,00 mais o valor de R$ 5,00 por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 52 lugares, é correto afirmar:

1. a) Se viajarem 30 passageiros, cada um deles pagará R$ 110,00.
   

2. b) Se o total de passageiros for $x$, o preço (em reais) de cada passagem será calculado pela expressão $90+5(52-x)$.
   

3. c) Se viajarem 40 pessoas, a empresa deverá receber um total de R$ 6.000,00, referente ao pagamento das passagens.
   

4. d) Se viajarem $x$ pessoas, o valor total (em reais) que a empresa deverá receber, referente ao pagamento das passagens, é calculado pela expressão $300x-5x^2$.
   

5. e) O valor total máximo que a empresa poderá receber pelo pagamento das passagens ocorrerá quando o total de passageiros for igual a 35.
   

A respeito do sistema de equações $\begin{cases}{c} x+3y-4z=0 \\ 3x+y=a \\ 4x+bz=0 \end{cases}$ onde $a$ e $b$ são números reais, é correto afirmar:

1. a) Se$\ a=0$, existe algum valor de $b$ para o qual o sistema é impossível.
   

2. b) Se o valor de $b$ for tal que o determinante da matriz $\left[ \begin{array}{ccc} \\ 1 & 3 & -4 \\ \\ 3 & 1 & 0 \\ \\ 4 & 0 & b \end{array} \right]$ não seja nulo, o sistema terá uma única solução, qualquer que seja o valor de $a$.
   

3. c) Se $a=1$ e $b=2$, o sistema tem mais de uma solução.
   

4. d) Se $a=b=0$, o sistema possui somente a solução nula.
   

O nível sonoro de um som de intensidade $I$, medido em decibéis, é calculado pela fórmula $10\ \times {\log\ \dfrac{I}{I_0}\ }$, onde ${\log\ \ \ }$representa logaritmo na base 10, e $I_0$ é um valor de referência que corresponde aproximadamente à menor intensidade de som audível ao ouvido humano. Com base nessas informações, é correto afirmar:

1. a) Se um som tem intensidade $I_0$, então o seu nível sonoro é igual a zero.
   

2. b) Um som de 1 decibel tem intensidade igual a $10 \times I_0$.
   

3. c) Um som de 40 decibéis tem intensidade igual a $10000 \times I_0$.
   

4. d) Se um som tem nível sonoro de 10 decibéis, então outro som que é dez vezes mais intenso que aquele tem nível sonoro igual a 100 decibéis.
   

5. e) Se três sons têm níveis sonoros de 50, 60 e 70 decibéis, e suas intensidades são, respectivamente, $I_1$, $I_2$, e $I_3$, então esses números formam, nessa ordem, uma progressão geométrica.
   

Em um triângulo $ABE$, a medida do lado $\overline{AE}$ é 3, a do ângulo $E$ é $75^\circ$, e a do ângulo $A$ é $45^\circ$. Dois pontos, $C$ e $D$, pertencem ao lado $\overline{AB}$. Sabe-se que a distância $\overline{AC}$ é $\sqrt{2}$ e que o segmento $\overline{ED}$ é perpendicular a$\ \overline{AB}$. Nessas condições, é correto afirmar:

1. a) A medida do ângulo $B$ é igual a $60^\circ$.
   

2. b) $AD>ED$
   

3. c) $EB=\sqrt{6}$
   

4. d) $EC=\sqrt{5}$
   

Sobre o polinômio $p\left(x\right)=x^4-5x^3+10x^2-5x+d$, onde $d$ é número real, é correto afirmar:

1. a) Se $d=16$, então $p(x)$ é o desenvolvimento de ${\left(x-2\right)}^4$.
   

2. b) Se $4$ e $3-2i$ forem raízes de $p\left(x\right)$, então $-5$ também é raiz de $p(x)$.
   

3. c) Se $d=0$, então zero é uma raiz de $p(x)$.
   

4. d) Se $1$ for raiz de $p(x)$, então $d=15$.
   

5. e) Se $d=-21$, então $p(x)$ é divisível por $x+1$.