IME 2014 - Questões

Sejam $f(x) = \sin{(\log{x})}$ e $g(x) = \cos{(\log{x})}$ duas funções reais, nas quais $\log{x}$ representa o logaritmo decimal de $x$. O valor da expressão $f(x) \cdot f(y) - \frac{1}{2} \big[ g \big( \frac{x}{y} \big) - g(x \cdot y) \big]$ é

Sejam $W = \{y \in \mathbb{R} \mid 2k + 1 \leq y \leq 3k – 5 \}$ e $S = \{y \in \mathbb{R} \mid 3 \leq y \leq 22 \}$. Qual é o conjunto dos valores de $k \in \mathbb{R}$ para o qual $W \neq \varnothing$ e $W \subseteq (W \cap S)$?

Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a $\sqrt{3}$ e excentricidade igual a $\sqrt{7}$. Considere que os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ representam as interseções da elipse com as retas de equações $y = x$ e $y = -x$. A área do quadrilátero $ABCD$ é

Sejam uma circunferência $C$ com centro $O$ e raio $R$, e uma reta $r$ tangente a $C$ no ponto $T$. Traça-se o diâmetro $AB$ oblíquo a $r$. A projeção de $AB$ sobre $r$ é o segmento $PQ$. Sabendo que a razão entre $OQ$ e o raio $R$ é $\sqrt{7}/2$, o ângulo, em radianos, entre $AB$ e $PQ$ é

Seja a matriz $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix}$, em que $a$, $b$ e $c$ são números reais positivos satisfazendo $abc = 1$. Sabe-se que $A^{T} A = I$, em que $A^{T}$ é a matriz transposta de $A$ e $I$ é a matriz identidade de 3ª ordem. O produto dos possíveis valores de $a^3 + b^3 + c^3$ é