IME 2012 Matemática - Questões

As dimensões dos lados de um paralelepípedo reto retângulo, em metros, valem $a$, $b$ e $c$. Sabe-se que $a$, $b$ e $c$ são raízes da equação $6x^3 - 5x^2 + 2x - 3 = 0$. Determine, em metros, o comprimento da diagonal deste paralelepípedo.

O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética (PA) de números inteiros, de razão $r$, formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica (PG), de razão $q$, com $q$ e $r \in \mathbb{N}^*$ (natural diferente de zero). Determine:

São dadas as matrizes quadradas inversíveis $A$, $B$ e $C$, de ordem $3$. Sabe-se que o determinante de $C$ vale $(4 - x)$, onde $x$ é um número real, o determinante da matriz inversa de $B$ vale $-\frac{1}{3}$ e que ${(CA^t)}^t = P^{-1}BP$, onde $P$ é uma matriz inversível. Sabendo que $A =\begin{pmatrix}0&0&1\\3&x&1\\1&0&0\end{pmatrix}$, determine os possíveis valores de $x$.

Os números reais positivos $x_1$, $x_2$ e $x_3$ são raízes da equação $x^3- ax^2= a^b-\frac{b}{2}x$, sendo $b\in \mathbb{N}$ (natural), $a\in \mathbb{R}$ (real) e $a \neq 1$. Determine, em função de $a$ e $b$, o valor de$$\log_a\left[x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)^{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\right]$$

São dados os pontos $P_0$, e $P_1$; distantes $1\ cm$ entre si. A partir destes dois pontos são obtidos os demais pontos $P_h$, para todo $n$ inteiro maior do que um, de forma que: 

• - o segmento $P_n P_{(n-1)}$ é $1\ cm$ maior do que o segmento $P_{(n – 1)}P_{(n-2)}$; e 

• - o segmento $P_n P_{(n-1)}$ é perpendicular a $P_0P_{(n-1)}$.

Determine o comprimento do segmento $P_0 P_{24}$.