IME 2012 - Questões

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Um curso oferece as disciplinas $A$, $B$, $C$ e $D$. Foram feitas as matrículas dos alunos da seguinte forma:

  • $6$ Galunos se matricularam na disciplina $A$;

  • $5$ alunos se matricularam na disciplina $B$;

  • $5$ alunos se matricularam na disciplina $C$; e

  • $4$ alunos se matricularam na disciplina $D$.

Sabe-se que cada aluno se matriculou em, no mínimo, $3$ disciplinas. Determine a quantidade mínima de alunos que se matricularam nas $4$ disciplinas.


São dados os pontos $P_0$, e $P_1$; distantes $1\ cm$ entre si. A partir destes dois pontos são obtidos os demais pontos $P_h$, para todo $n$ inteiro maior do que um, de forma que: 

  • - o segmento $P_n P_{(n-1)}$ é $1\ cm$ maior do que o segmento $P_{(n – 1)}P_{(n-2)}$; e 

  • - o segmento $P_n P_{(n-1)}$ é perpendicular a $P_0P_{(n-1)}$.

Determine o comprimento do segmento $P_0 P_{24}$.


Em um aeroporto existem $12$ vagas numeradas de $1$ a $12$, conforme a figura. Um piloto estacionou sua aeronave em uma vaga que não se encontrava nas extremidades, isto é, distintas da vaga $1$ e da vaga $12$. Após estacionar, o piloto observou que exatamente $8$ das $12$ vagas estavam ocupadas, incluindo a vaga na qual sua aeronave estacionou. Determine a probabilidade de que ambas as vagas vizinhas a sua aeronave estejam vazias.


Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta $a$. As faces laterais fazem um ângulo de $15^\circ$ com o plano da base. Determine o volume desta pirâmide em função de $a$.


São dadas as matrizes quadradas inversíveis $A$, $B$ e $C$, de ordem $3$. Sabe-se que o determinante de $C$ vale $(4 - x)$, onde $x$ é um número real, o determinante da matriz inversa de $B$ vale $-\frac{1}{3}$ e que ${(CA^t)}^t = P^{-1}BP$, onde $P$ é uma matriz inversível. Sabendo que $A =\begin{pmatrix}0&0&1\\3&x&1\\1&0&0\end{pmatrix}$, determine os possíveis valores de $x$.

Obs.: $(M)^t$ é a matriz transposta de $M$.

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