IME 1949 Matemática - Questões

a) Dada a equação:

$$x^4 + 24 \cdotp x^2 + 64 \cdotp x + m = 0$$

Pedem-se:

(i) O valor de $m$ para que ela apresente uma raiz dupla.

(ii) Resolvê-la no caso da condição anterior.

b) Empregando a teoria das frações contínuas, calcular o logaritmo comum de $5$ com erro inferior a $1/10.000$.

a) Definir cone de revolução e dizer de que natureza são as seções planas que podem ser obtidas na referida superfície. Justificar em cada caso considerado.

b) Demonstrar que no tetraedro regular o raio da esfera tangente às seis arestas é a média proporcional entre o raio da esfera inscrita e o da esfera circunscrita.

c) Exprimir em função do raio do círculo o perímetro de um triângulo nele inscrito, sabendo-se que um dos lados do triângulo é igual ao raio do círculo e os dois outros estão na relação $1/2$.

a) Calcular a expressão

$$\frac{\sqrt[3 + 4i]{1 + i}}{\sqrt[6i]{1 + i \sqrt{3}}}$$

dando o resultado em forma polar.

Obs: A Tabela $1$ deve ser utilizada na resolução deste item.

sln: A Tabela $1$ não está disponível.

b) Sendo $a = e^{\frac{2 \pi}{3} i}$, mostrar que $1$, $a$, $a^2$ são as raízes cúbicas da unidade. Provar, ainda, analítica e graficamente que as seguintes relações são verdadeiras.

$$1 + a^2 - a = -2a$$

$$(1 + a)^2 = a$$

a) Construir a figura homológica de uma circunferência $C$. O sistema de homologia necessário à transformação pedida é dado pelos seguintes elementos:

• $O$ - centro de homologia.

• $L$ - reta limite.

• $E$ - eixo de homologia.

A circunferência $C$ é tangente à reta limite. Esta reta é, como se sabe, o lugar geométrico dos pontos homólogos dos impróprios ou do infinito da outra figura.

Obs:

• A construção deve ser feita a lápis na Figura 1 anexa.

• As construções devem ser explicadas e justificadas, a tinta, no papel pautado da prova.

• Na explicação é preciso dizer qual a curva obtida e porquê.

b) Resolver o sistema

$$\begin{cases} 2 \sin{(2x)} - \tan^2{(y)} = 1 \\ 2 \cos{(2y)} - \tan^2{(x)} = 1 \end{cases}$$

a) Resolver o sistema

$$\begin{cases} x^y = y^x \\ x^p = y^q \end{cases}$$

b) Achar a derivada $\Delta^\prime $ em relação a $x$ do determinante

$$\Delta = \begin{vmatrix} u(x) & v(x)& w(x) \\ u (x)^\prime & v (x)^\prime & w (x)^\prime \\ u(x)^\prime{^\prime}& v(x)^\prime{^\prime} & w (x)^\prime{^\prime}\end{vmatrix}$$

no qual

$$u(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b^2}} \cdotp \arccos{\bigg(\frac{a \cdotp \cos{(x)} + b}{a + b\cdotp \cos{(x)}}\bigg)}$$

$$v(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b^2}} \cdotp \arctan{\bigg(\sqrt{\frac{a - b}{a + b}} \cdotp \tan{\frac{x}{2}}\bigg)}$$

Suposto $a^2 >b^2$. Mostrar que $\Delta$ se anula para

$$ w(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b^2}} \cdotp \arcsin{\bigg(\frac{a \cdotp \cos{(x)} + b}{a +b \cdotp \cos{(x)}}\bigg)}$$