IME 1948 - Questões
Abrir Opções Avançadas
a) Definir o conceito de derivada de uma função num ponto.
b) Demonstrar que $\frac{d}{dx} \cdotp \sin{x} = \cos {x}$, justificando rigorosamente as várias fases da demonstração.
c) Calcular a derivada da função:
$$y = \arcsin{\bigg(\frac{1 - \cos{z}}{2}\bigg)}^{1/2}$$
d) Por que razão as funções: $$y_1 = \arctan{ \bigg(\frac{a + x}{1 - a \cdotp x}\bigg)}$$ e $$y_2 = \arctan {(x)}$$ têm a mesma derivada?
a) Calcular com $3$ algarismos significativos o valor de $K$ dado pela expressão abaixo indicada:
$$K = \frac{2}{\sqrt{28}} \cdotp \sqrt[(7)^2]{3^6 \cdotp e^{- \frac{1}{4}} \cdotp \frac{1}{2}}$$
Obs: $e = 2,7183$.
b) Determinar os números complexos que gozam da propriedade de ter o quadrado e o complexo conjugado idênticos.
c) Reconhecer, justificando, se as séries, cujos termos gerais estão abaixo indicados, são convergentes ou divergentes.
(i) $$U_n = \frac{n}{n^n}$$
(ii) $$U_n = \frac{\pi^n}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{n}}$$
a) Quantos números diferentes de dez algarismos se podem formar com os algarismos $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $5$, $6$, $7$, $7$, $7$, tendo todos eles o mesmo final $34475$?
b) Discutir e resolver o sistema:
$$\begin{cases} 8 x + 4 y - 3 z = 6 \\ x + 3 y - z = 7 \\ 4x - 5 y + 4 z = 8 \\ a x + b y + cz = 10 \\ 2 a x - by - a c z = -2 \end{cases}$$
Numa esfera de raio $R$, inscrever um prisma reto cujas bases sejam triângulos equiláteros, de modo que seu volume seja igual a $R^3$. Calcular a altura do prisma para uma esfera de raio igual a $2 \sqrt{3} \ cm$.
É dado um prisma reto de base hexagonal regular, cujas arestas laterais são: $AA^\prime$, $BB^\prime$, $CC^\prime$, $DD^\prime $, $EE^\prime$ e $FF^\prime$. Corta-se esse prisma pelos planos: $AB^\prime C$, $CD^\prime E$, $EF^\prime A$, $B^\prime CD^\prime$, $D^\prime EF^\prime$ e $F^\prime AB^\prime$, que dele destacam seis pirâmides triangulares. Pedem-se:
a) A forma geométrica do sólido restante.
b) A relação entre a altura do prisma e o lado da base hexagonal para que o sólido restante seja um poliedro regular.
c) O volume desse poliedro regular em função do raio circunscrito à base do prisma.
Carregando...