CN 2007 - Questões

A expressão $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{23\cdot4}}{8}$ determina as raizes do trinômio $ax^2+bx+c$, de coeficientes inteiros positivos e raizes racionais. Sabendo-se que o símbolo * está substituindo um algarismo, qual é o menor valor numérico para esse trinômio?

O produto de dois números reais $x$ e $y$ é igual a $150$. Assim sendo, $x + y$ não pode ser igual a:

Uma criação de $12$ aves do tipo $A$ consome um saco de ração $k$ em exatamente $30$ dias e uma criação de $6$ aves tipo $B$ consome um saco de ração $k$, igual ao primeiro, em exatamente $10$ dias. Inicialmente, tem-se um saco de ração $k$ para cada um dos tipos de aves mencionados. No fim do quinto dia, a ração disponível para as aves do tipo $B$ estragou-se, obrigando a distribuição de toda a ração restante para os dois tipos de aves. Assim sendo, quantos dias inteiros vai durar a ração restante para alimentar todos os animais na forma regular?

De um ponto $P$ exterior a um círculo de raio $6$, traçam-se secantes $\overline{PXY}\ (\overline{PX}<\overline{PY}),\ X$ e $Y$ pontos variáveis pertencentes à circunferência desse círculo. Os pontos médios das cordas $\overline{XY}$ descrevem um arco de circunferência de raio $R$. Assim sendo, qual será o valor de $R$, sabendo-se que a tangente $\overline{PT}$ ao círculo mede $8$?

Em um triângulo retângulo $ABC$, o cateto $AC$ e a hipotenusa $BC$ medem, respectivamente, $10$ e $40$. Sabe-se que os segmentos $CX,\ CY$ e $CZ$ dividem o angulo $ACB$ em quatro ângulos de medidas iguais, e que $AX,\ XY,\ YZ$ e $ZB$ são segmentos consecutivos contidos internamente no segmento $AB$. Se $S_1$, $S_2$, $S_3$ e $S_4$ são, respectivamente, as áreas dos triângulos $CAX,\ CXY$, $CYZ$ e $CZB$, qual será o valor da razão $\dfrac{S_{1} S_{3} }{S_{2} S_{4} }$?