Sejam uma circunferência $C$ com centro $O$ e raio $R$, e uma reta $r$ tangente a $C$ no ponto $T$. Traça-se o diâmetro $AB$ oblíquo a $r$. A projeção de $AB$ sobre $r$ é o segmento $PQ$. Sabendo que a razão entre $OQ$ e o raio $R$ é $\sqrt{7}/2$, o ângulo, em radianos, entre $AB$ e $PQ$ é


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Diego Admin 24/02/2022 12:57
Observe a figura abaixo
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Nós queremos calcular justamente o $\alpha$. Primeiramente, note que $\Delta OTQ$ é retângulo, portanto, $$TQ^2 + OT^2 = OQ^2 \Rightarrow TQ^2 + R^2 =\left( \frac{\sqrt{7}R}{2}\right)^2 \Rightarrow TQ = \frac{\sqrt{3}R}{2}$$ Finalmente, pelo Teorema de Tales, uma vez que $\overline{AP}, \overline{OT}, \overline{BQ}$ são paralelos (todos perpendiculares à reta tangente): $$\frac{XQ}{TQ} = \frac{XB}{OB} \Rightarrow \cos{\alpha} = \frac{\sqrt 3}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{6}$$
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