Você notou que, no exemplo acima, usamos mc^2 para representar o número $2$ no expoente?
Falaremos melhor sobre isso na seção "Subscritos e Sobrescritos"!

Antes disso, vamos resolver o nosso próximo desafio: como representar símbolos matemáticos que não existem no nosso teclado?

Por exemplo, a letra grega Alfa $(\alpha)$ e o símbolo de somatório $\sum$.
No LaTeX eles são representados por \alpha e \sum, respectivamente.

Repare que todo símbolo especial começa com o símbolo de barra invertida \
Abaixo, uma tabela com vários símbolos especiais:

Depois de explorar, você pode estar sentindo falta de uma coisa importante:
Como nós escrevemos frações?

A expressão \frac representa a "barra" da fração.
E agora, como separamos o numerador do denominador?

Aqui surge os caracteres mais importante de todos: as chaves { }
São os separadores universais dentro do LaTeX.

Com eles, conseguimos escrever a fração $\dfrac{1}{2}$ assim: \frac{1}{2}

Os binomiais seguem a mesma lógica (lembra das aulas de combinatória)?

\binom{n}{k} $\displaystyle\Longrightarrow\ \binom{n}{k}$

Assim, já conseguimos escrever nossa primeira expressão complexa:

Analise com calma cada letra usada na equação acima. É importante que tudo faça sentido para prosseguirmos!

O próximo passo é colocar uma fração dentro da outra:
$$\dfrac{1000}{ \frac{2}{3} }$$

É apenas: \frac{ 1000 }{ \frac{2}{3} }

Repare que, dentro das chaves { }, os espaços são opcionais.
Então tanto faz escrever \frac{ 1 }{ 2 } ou \frac{1}{2}, o resultado continua sendo $\dfrac{1}{2}$

Outros exemplos usando chaves:

Mas ao testar com mais de um dígito, surge um problema:
$$a^12 + b^12$$ Como eu obrigo o $2$ aparecer no expoente, mas o sinal de $+$ não?

Vamos usar as chaves! Basta fazer a^{12} que somente o 12 vai para o expoente.
É o mesmo princípio das frações!

E não para por aí: além de números, podemos colocar qualquer coisa dentro das chaves. Por exemplo:
$$144^{ \frac{1}{2} } + \beta^{ 5 }$$ É apenas 144^{ \frac{1}{2} } + \beta^{ 5 }

Falta agora falar dos subscritos: como escrever $x_1$ e $x_2$ ?
Basta colocar o símbolo _

No exemplo acima: x_1 e x_2 são $x_1$ e $x_2$
Naturalmente, se quisermos representar $x_{123}$ basta usar as chaves:

Um logaritmo \log_2 fica: $\log_2$

Exemplo: $\log_{2} 2^{10} = 10$ é \log_{2} 2^{10} = 10

Hora do desafio: como representar o somatório $\sum^{n}_{i=0}$ ?

Vamos por partes: sabemos que o Sigma é \sum
Agora, para colocar o $n$ na parte de cima do sigma, usamos \sum^{n}
E finalmente, para colocar o $i=0$ abaixo do sigma, usamos \sum_{i=0}

Combinando os dois:

Sempre que precisar, use o Editor para experimentar!

Um outro exemplo que combina tanto sobrescritos quanto subscritos é a permissividade elétrica do vácuo em notação científica:

Alguns detalhes: reparou no espaço entre os dois números $8$?
Usamos um par de chaves ao redor dela para ignorar os espaços: 8{,}85 $\Longrightarrow 8{,}85$

E mais importante: esquecemos das unidades do $\epsilon_0$ !

Para representar unidades, usamos a expressão \pu sigla em inglês para Physical Units).

No exemplo anterior, para representar as unidades $ \pu{F m-1}$ do $\epsilon_0$, basta escrever \pu{F m-1}:

Repare que, dentro do \pu escrever um espaço entre o $F$ e o $m$ fez com que eles se separassem corretamente.
Melhor ainda: também não foi necessário colocar o acento circunflexo antes do $-1$ para colocá-lo no expoente!

Usar o \pu facilita bastante a representação de unidades.
As letras também saem do modo itálico, ideal para as unidades:

Comparando m/s^2 com \pu{m/s2}:

E por último, temos as equações químicas: $\ce{Na+ + Cl- -> NaCl}$

Aqui usaremos a expressão \ce (sigla em inglês para chemical equation).

É parecido com o \pu: não precisamos escrever _2 para colocar o $2$ abaixo do $H$.
E olhando para o primeiro exemplo, também não precisamos do ^+ para colocar o sinal de $+$ no expoente.
Basta escrever ao lado do $\ce{Na}$:

Para destacar símbolos em uma equação, podemos modificar a cor do texto de usando a expressão \color.

Por exemplo, abaixo da imagem de um triângulo de catetos $\color{red}{a}$, $\color{green}{b}$ e $\color{blue}{c}$, podemos escrever:

Para acessar a lista das cores amplamente suportadas, consulte esta tabela

Como falamos no início, podemos escrever uma expressão dentro de um grupo $...$ ou dentro de um grupo $$...$$.

Usamos o primeiro grupo (chamadoscriptstyle) para colocar expressões matemáticas na mesma linha, enquanto o segundo (chamadodisplaystyle) é usado para expressões em destaque, que são maiores e centralizadas em uma nova linha.

Abaixo, um exemplo do uso apropriado de cada modo:

Veja que a fração em modo display é maior que os parênteses que envolvem a expressão.

Para garantir que a altura dos parênteses respeite o conteúdo no interior deles, basta colocar \left antes do parêntese da esquerda, e \right antes do parêntese da direita.
Fica assim:

O mesmo vale para colchetes, chaves, etc. usando \left[ ... \right].

Nós exploramos os "subscritos e sobrescritos" anteriormente, permitindo escrever expoentes como $a^{12}$ e índices como $x_{ij}$.

Mas e se quiséssemos colocar o $12$ realmente acima do $a$?
Neste caso, usamos o \overset{ 12 }{ a } que resulta em $\overset{12}{a}$.

Analogamente, usando o primeiro exemplo, para representar o $ij$ logo abaixo de $x$ fazemos o seguinte:
\underset{ ij }{ x } gerando $\underset{ij}{x}$.

O uso dessas expressões não é muito comum, pois existem outras expressões que cumprem o papel de colocar símbolos abaixo ou acima de outros.

Sempre prefira usar \vec, \overline, \hat, \widehat e \overleftrightarrow no lugar de combinações com \overset e \underset. O resultado é, respectivamente: $$\vec{a}\quad \overline{a+bi}\quad \hat{c}\quad \widehat{123}\quad \overleftrightarrow{e}$$ Um conceito muito útil em resoluções é o de \underbrace e \overbrace, que funciona de modo muito parecido com o anterior:

Durante os passos anteriores nós usamos os símbolos especiais \$ e {}, que não aparecem no resultado final. Quando queremos mostrá-los, basta usar a barra invertida:

E por fim, um vídeo mostrando como usar os ambientes especiais e um desafio: