Considere uma função que satisfaz:

  1. é crescente, isto é, para quaisquer tem-se .

  2. para quaisquer .

Mostre que:

a) ;

b) para todo ;

c) para quaisquer ;

d) para todo e natural ;

e) para todo e natural ;

f) sempre que .

CossenoGPT

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Prof Diego 22/08/2022, 14:45
$a)$ faça $x=y=1$ em $2. \Rightarrow L(1) = 2L(1) \Rightarrow L(1)=0$ $b)$ faça $y = 1/x$ em $2. \Rightarrow L(1) = L(x) + L(1/x) \ por \ a) \Rightarrow L(1/x) = -L(x) $ $c)$ faça $y = 1/y$ em $2.$ De $b)$, $L(x/y) = L(x) - L(y)$ $d)$ para $y = x$, $L(x^2) = 2L(x)$, para $y = x^2$ $L(x^3) = L(x) + L(x^2) = 3L(x)$. Por indução, $L(x^n) = nL(x)$ $e)$ tome $a = \sqrt[n]x$, por $d)$, temos que $L(a^n) = nL(a)$, logo $L(x) = nL(\sqrt[n]x)$ $f)$ de $a)$ e do fato de que $L$ é crescente, se $0 < x < 1$, $L(x) < L(1) = 0$ e se $1 < y \Rightarrow 0 = L(1) < L(y)$ e isso prova o item $f)$
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