Considere uma função que satisfaz:
é crescente, isto é, para quaisquer tem-se .
para quaisquer .
Mostre que:
a) ;
b) para todo ;
c) para quaisquer ;
d) para todo e natural ;
e) para todo e natural ;
f) sempre que .
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mesmo! 

$a)$ faça $x=y=1$ em $2. \Rightarrow L(1) = 2L(1) \Rightarrow L(1)=0$
$b)$ faça $y = 1/x$ em $2. \Rightarrow L(1) = L(x) + L(1/x) \ por \ a) \Rightarrow L(1/x) = -L(x) $
$c)$ faça $y = 1/y$ em $2.$ De $b)$, $L(x/y) = L(x) - L(y)$
$d)$ para $y = x$, $L(x^2) = 2L(x)$, para $y = x^2$ $L(x^3) = L(x) + L(x^2) = 3L(x)$. Por indução, $L(x^n) = nL(x)$
$e)$ tome $a = \sqrt[n]x$, por $d)$, temos que $L(a^n) = nL(a)$, logo $L(x) = nL(\sqrt[n]x)$
$f)$ de $a)$ e do fato de que $L$ é crescente, se $0 < x < 1$, $L(x) < L(1) = 0$ e se $1 < y \Rightarrow 0 = L(1) < L(y)$ e isso prova o item $f)$