$a)$ Primeiro, devemos entender o movimento. No início, não há força elástica, e portanto apenas a força de atrito é contrária ao movimento. Sendo o valor máximo dela $P \cos{\theta} \mu$ ( que é menor que a componente tangente do peso, $P \sin \theta$), concluímos que o bloco se movimenta para baixo. De pouco a pouco a força elástica vai aumentando, até que ela, somada a força de atrito, se iguale a componente do peso, e nesse momento a corda se rompe. Temos então que: $$ F_{el} + F_{fat} = P\sin{\theta} \Rightarrow kx + P\cos{\theta}\mu = P \sin{\theta}$$ Utilizando os valores fornecidos e isolando $x$, encontramos $$x = 2 \ m$$ Esse $x$ é também o deslocamento do bloco paralelo à rampa até o momento em que o fio se rompe (não confundir com o momento em que o bloco deixa a rampa). Portanto, o deslocamento vertical pedido é $$x \sin{\theta} = x \sin{30^o} = 1 \ m$$ $b)$ Para encontrar o restante do trecho $AB$ ( já temos a primeira parte que vale $2 \ m$) Podemos usar energia e trabalho da força de atrito entre o momento que a corda rompe e o momento que o bloco sai. Mas antes, devemos encontrar a velocidade do bloco no momento em que o fio se rompe, novamente utilizando energia e trabalho da força de atrito entre o instante inicial e o instante em que o fio se rompe: $Primeira$ $parte$: $$ E_{i_1} = E_{f_1} + W_{fat_1} \Rightarrow Mg \Delta {h_1} = \dfrac{Mv_1^2}{2} + \dfrac{kx^2}{2} + P\cos{\theta}\mu x$$ Como sabemos o valor de $\Delta {h_1} = 1$ e $x = 2$ do item $a)$, podemos encontrar o valor de $v_1:$ $$v_1 = \sqrt{3,04} \ m/s$$ $Segunda$ $parte$: Após o rompimento do fio (não existe mais força elástica): $$E_{i_2} = E_{f_2} + W_{fat_2} \Rightarrow Mg\Delta{h_2} + \dfrac{Mv_1^2}{2} = \dfrac{Mv_2^2}{2} + P\cos{\theta}\mu x_2$$ aqui, não sabemos o valor de $Delta{h_2}$ e nem de $x_2$ (observe que o enunciado forneceu o valor de $v_2$. Porém, por geometria básica, $x_2 \sin{\theta} = \Delta{h_2} \Rightarrow x_2 = 2\Delta{h_2}$. Assim, substituindo os valores e isolando $\Delta{h_2}$ encontramos: $$\Delta{h_2} \approx 3,61 \ m \Rightarrow x_2 \approx 7.22 \ m$$ Logo, $$AB \approx 9.22 \ m$$ $c)$ A partir daqui, podemos esquecer o movimento anterior, e focar no resto do movimento: um lançamento e o movimento do sistema bloco + carrinho $Primeira$ $parte$ (lançamento): A velocidade horizontal do bloco é $$v_{x_1} = 5 \cdot \cos{\theta} = 5 \cdot 0,87 \approx 4,35 \ m/s$$ Logo, o primeiro deslocamento (durante $2$ segundos) é: $$\Delta{S_1} = 4,35 \cdot 2 \approx 8,70 \ m$$ $Segunda$ $parte$ (movimento no carrinho): Para saber a velocidade do sistema após o choque, podemos usar a conservação da quantidade de movimento do sistema carrinho+bloco, pois não atuam forças externas horizontais nesse sistema: $$Q_i = Q_f \Rightarrow M \cdot v_{x_1} = (M + m)\cdot V \Rightarrow V \approx 3,75 \ m/s$$ Assim, o total percorrido nessa parte é $$\Delta{S_2} = 3,75 \cdot 4 = 15 \ m$$ Logo, o deslocamento é $$D = 15 + 8,7 = 23,7 \ m$$ $d)$ O vetor força é a soma vetorial da força normal com a força de atrito, e o seu módulo ao quadrado é $$\vec{R} \approx 219501 \ N^2$$