Quanto às soluções, um sistema linear homogêneo é sempre possível, podendo ser determinado ou não. $$D = \begin{vmatrix} a_1 & a_1+1 & a_1 + 2 & \cdots & a_1 + n-1 \\ a_2 & a_2+1 & a_2 + 2 & \cdots & a_2 + n-1\\ a_3 & a_3+1 & a_3 + 2 & \cdots & a_3 + n-1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_n & a_n+1 & a_n + 2 & \cdots & a_n + n-1 \end{vmatrix}$$Seja $D$ o determinante da matriz dos coeficientes do sistema. Decompondo $D$ em soma, e pelo Teorema de Jacobi, nos é assegurado que: $$D = \underbrace{\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1\\ 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 \end{vmatrix}}_{0} + \underbrace{\begin{vmatrix} a_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\ a_2 & a_2 & a_2 & \cdots & a_2\\ a_3 & a_3 & a_3 & \cdots & a_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_n & a_n & a_n & \cdots & a_n \end{vmatrix}}_{0} = 0$$$$\color{red}{D = 0}$$O sistema é possível e o determinante da matriz dos coeficientes é nulo, então conclui-se que o sistema linear homogêneo é POSSÍVEL E INDETERMINADO. $$\text{Alternativa } \mathbb{(E)}$$

As equações podem ser igualadas por conta da resultante ser a mesma, e fazendo isso podemos também igualar o coeficiente de incógnitas iguais. ex: A1 + 1 = A2 +1, bem como A1=A2, e isso significa que An = An-1. Não obstante, sendo An uma igual para todas as equações, o conjunto solução independe dos coeficientes das incógnitas que podem ser quaisquer, e, desde que o resultado de suas somas sejam igual a zero, temos soluções infinitas.