USP 2019 Matemática - Questões

Resolva os três itens abaixo.

1. a) O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é $5$, e o terceiro termo é $45$. Calcule a soma dos $6$ primeiros termos dessa progressão.
   

2. b) Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que $112$ e não divisíveis por $4$.
   

3. c) A soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão aritmética é $n(2n+1)$, qualquer que seja $n\geq 1$. Encontre o vigésimo termo dessa progressão.
   

Uma urna tem $A$ bolas azuis e $B$ bolas brancas. Ao serem retiradas duas delas de uma só vez, aleatoriamente, a probabilidade de saírem duas bolas azuis é denotada por $p_A$, a probabilidade de saírem duas bolas brancas é denotada por $p_B$, e a probabilidade de saírem duas bolas de cores diferentes é denotada por $p_M$.

1. a) Se $A=2$ e $B=5$, determine $p_B$.
   

2. b) Se o total de bolas da urna é $21$ e $p_M$ é o triplo de $p_A$, quantas bolas azuis e quantas bolas brancas há na urna?
   

3. c) Se $A=3$, para quais valores de $B$ o valor de $p_M$ é estritamente maior do que $\dfrac{1}{2}$?
   

Em uma família, o número de irmãs de cada filha é igual à metade do número de irmãos. Cada filho tem o mesmo número de irmãos e irmãs.

O número total de filhos e filhas da família é

Se a função $f: \mathbb{R}-\{2\}\ \to\ \mathbb{R}$ é definida por $f(x)= \dfrac{2x+1}{x-2}$ e a função $g: \mathbb{R}- \{2\}\ \to\ \mathbb{R}$ é definida por $g(x)=f(f(x))$, então $g(x)$ é igual a

Considere a função polinomial $f: \mathbb{R}\ \to\ \mathbb{R}$ definida por

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

em que $a, b, c\ \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. No plano cartesiano $xy$, a única intersecção da reta $y=2$ com o gráfico de $f$ é o ponto $(2,2)$ e a intersecção da reta $x=0$ com o gráfico de $f$ é o ponto $(0;-6)$. O valor de $a+b+c$ é