USP 2015 Matemática - Questões

Resolva as inequações:

1. a) $x^3-x^2-6x>0$
   

2. b) ${{\log}_2 (x^3-x^2-6x)\ }\le 2$
   

Resolva os três itens abaixo.

1. a) Calcule ${\cos\ (3\pi /8 })$ e $\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ (3 \pi /8)$.
   

2. b) Dado o número complexo $z=\sqrt{2-\sqrt{2}}+i\sqrt{2+\sqrt{2}}$, encontre o menor inteiro $n>0$ para o qual $z^n$ seja real.
   

3. c) Encontre um polinômio de coeficientes inteiros que possua $\boldsymbol{z}$ como raiz e que não possua raiz real.
   

A função $f$ está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar $n$,

$$f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} x-\left(n-1\right),\ \ \ \ \ \ \ se\ n-1\le x\le n \\ n+1-x,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ se\ n\le x\le n+1 \end{array} \right.$$

1. a) Esboce o gráfico de $f$ para $0
   

2. b) Encontre os valores de $x$, $0
   

Um "alfabeto minimalista" é constituído por apenas dois símbolos, representados por * e #. Uma palavra de comprimento $n$, $n\ge 1$, é formada por $n$ escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento $1$ e #*# é uma palavra de comprimento $4$.

Usando esse alfabeto minimalista,

1. a) Quantas palavras de comprimento menor do que $6$ podem ser formadas?
   

2. b) Qual é o menor valor de $N$ para o qual é possível formar 1.000.000 de palavras de tamanho menor ou igual a $N$?
   

Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de R$ $3,00$ para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de R$ $4,65$ para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$ $12,50$. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é