USP 2011 Matemática - Questões

1. a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição, entre $1$, $3$, $5$, $6$, $8$, $9$?
   

2. b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por $5$?
   

3. c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por $4$?
   

No plano cartesiano $Oxy$, considere a parábola $\mathcal{P}$ de equação $y=-4x^2+8x+12$ e a reta $r$ de equação $y=3x+6$. Determine:

1. a) Os pontos $A$ e $B$, de intersecção da parábola $\mathcal{P}$ com o eixo coordenado $Ox$, bem como o vértice $V$ da parábola $\mathcal{P}$.
   

2. b) O ponto $C$, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de $\mathcal{P}$ com a reta $r$.
   

3. c) A área do quadrilátero de vértices $A$, $B$, $C$ e $V$.
   

Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas $14$ questões, sendo $7$ de Português, $4$ de Geografia e $3$ de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas $14$ questões.

1. a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?
   

2. b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe $A$ da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padrão: as $7$ primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe $A$ distintas da prova poderão ser produzidas?
   

3. c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com $7$ questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe $A$?
   

1. a) Sendo $i$ a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo $$z_0=\dfrac{1}{1+i}+\dfrac{1}{2i}+i$$
   

2. b) Determine um polinômio de grau $2$, com coeficientes inteiros, que tenha $z_0$ como raiz.
   

3. c) Determine os números complexos $w$ tais que $z_0\cdot w$ tenha módulo igual a $5\sqrt{2}$ e tais que as partes real e imaginária de $z_0\cdot w$ sejam iguais.
   

4. d) No plano complexo, determine o número complexo $z_1$ que é o simétrico de $z_0$ com relação à reta de equação $y-x=0$.
   

As raízes da equação do terceiro grau

$$x^3-14x^2+kx-64=0$$

São todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine

1. a) As raízes da equação;
   

2. b) O valor de $k$.