USP 2010 Matemática - Questões

Observe a gravura e considere as afirmações.

(Fonte: Fragmento de Metamorphosis II, de M. C. Escher.)

$I.$ Pentágonos regulares congruentes podem substituir os hexágonos da gravura de modo a recobrir todo o plano sem sobreposição.

$II.$ Pelo menos um dos animais representados passa pelo processo de metamorfose na natureza.

$III.$ A sequência de espécies animais representados da esquerda para a direita do leitor corresponde à do processo evolutivo na biosfera.

Está correto o que se afirma somente em

Seja $n$ um número inteiro, $n\ge 0$.

1. a) Calcule de quantas maneiras distintas $n$ bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.
   

2. b) Calcule de quantas maneiras distintas $n$ bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.
   

3. c) Considere, agora, um número natural $k$ tal que $0\le k\le n$. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a $k$.
   

Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.

A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base $10$, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o $pH$ de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base $10$, do inverso da concentração de íons $H^+$.

Considere as seguintes afirmações:

$I.$ O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.

$II.$ A concentração de íons $H^+$ de uma solução ácida com $pH$ $4$ é $10$ mil vezes maior que a de uma solução alcalina com $pH$ $8$.

$III.$ Um abalo sísmico de magnitude $6$ na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude $3$.

Está correto o que se afirma somente em

Dois planos ${\pi }_1$ e ${\pi }_2$ se interceptam ao longo de uma reta $r$, de maneira que o ângulo entre eles meça $\alpha$ radianos, $0<\alpha <\dfrac{\pi }{2}$. Um triângulo equilátero $ABC$, de lado $\ell$, está contido em $\pi_2$, de modo que $\overline{AB}$ esteja em $r$. Seja $D$ a projeção ortogonal de $C$ sobre o plano ${\pi }_1$, e suponha que a medida $\theta$, em radianos, do ângulo $C\textrm{Â}D$, satisfaça ${\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \theta \ }=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.

Nessas condições, determine, em função de $\ell$:

a) O valor de $\alpha$.

b) A área do triângulo $ABD$.

c) O volume do tetraedro $ABCD$

Determine a solução $(x,y)$, $y>1$, para o sistema de equações

$$\begin{cases} \log_y\ (9x - 35) = 6\\ \\ \log_{3y}\ (27x - 81) = 3 \end{cases}$$