USP 2009 Matemática - Questões

Considere o sistema de equações nas variáveis $x$ e $y$, dado por

$$\left\{ \begin{array}{c} 4x+2m^2\ y\ =\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2mx+\left(2m-1\right)y=0 \end{array} \right.$$

Desse modo:

1. a) Resolva o sistema para $m\ =\ 1$.

2. b) Determine todos os valores de $m$ para os quais o sistema possui infinitas soluções.

3. c) Determine todos os valores de $m$ para os quais o sistema admite uma solução da forma $(x,\ y)\ =\ (\alpha ,\ 1)$, sendo a um número irracional.

A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é $\dfrac{1}{2}$. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3.

Nessas condições, determine:

1. a) A razão da PG.
   

2. b) A soma dos três primeiros termos da PG.
   

Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.

1. a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?

2. b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França?

3. c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?

No plano cartesiano $Oxy$, a circunferência $C$ tem centro no ponto $A = (-5,1)$ e é tangente à reta $t$ de equação $4x-3y -2 =\ 0$ em um ponto $P$. Seja ainda $Q$ o ponto de intersecção da reta $t$ com o eixo $Ox$.

Assim:

1. a) Determine as coordenadas do ponto $P$.

2. b) Escreva uma equação para a circunferência $C$.

3. c) Calcule a área do triângulo $APQ$.

Para cada número real $m$, considere a função quadrática $f(x) = x^2+mx+2$.

Nessas condições:

1. a) Determine, em função de $m$, as coordenadas do vértice da parábola de equação $y = f(x)$.

2. b) Determine os valores de $m\in \mathbb{R}$ para os quais a imagem de $f$ contém o conjunto $\{y\in \mathbb{R}:\ y\ge 1\}$.

3. c) Determine o valor de $m$ para o qual a imagem de $f$ é igual ao conjunto $\{y\ e\ R:\ y\ >\ 1\}$ e, além disso, $f$ é crescente no conjunto $\{x\in \mathbb{R}:\ x\ge 0\}$.

4. d) Encontre, para a função determinada pelo valor de $m$ do item c) e para cada $y\ge 2$, o único valor de $x\ge 0$ tal que $f(x)\ =\ y$ .