USP 2008 Matemática - Questões

João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ $21,50$. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ $57,00$.

Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.

No triângulo $ABC$, tem-se que $\overline{AB}\ >\ \overline{AC}$, $\overline{AC} = 4$ e ${\cos\ \hat{C}\ }=$ $\dfrac{3}{8}$. Sabendo-se que o ponto $R$ pertence ao segmento $\overline{BC}$ e é tal que $\overline{AR}\ =\ \overline{AC}$ e $\dfrac{\overline{BR}}{\overline{BC}} =\dfrac{4}{7}$, calcule

1. a) A altura do triângulo $ABC$ relativa ao lado $\overline{BC}$.
   

2. b) A área do triângulo $ABR$.
   

Um polinómio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a $\dfrac{9}{5}$. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é $\dfrac{24}{5}$.

Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinómio é 5, determine

1. a) A progressão aritmética.

2. b) O coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.

Por recomendação médica, uma pessoa deve fazer, durante um curto período, dieta alimentar que lhe garanta um mínimo diário de $7$ miligramas de vitamina $A$ e $60$ microgramas de vitamina $D$, alimentando-se exclusivamente de um iogurte especial e de uma mistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro do iogurte fornece $1$ miligrama de vitamina $A$ e $20$ microgramas de vitamina $D$. Cada pacote de cereais fornece $3$ miligramas de vitamina $A$ e $15$ microgramas de vitamina $D$. Consumindo $x$ litros de iogurte e $y$ pacotes de cereais diariamente, a pessoa terá certeza de estar cumprindo a dieta se

A medida $x$, em radianos, de um ângulo satisfaz $\dfrac{\pi }{2}

1. a) Determine $x$.
   

2. b) Calcule ${\cos\ x\ }+{\cos\ 2x\ }+{\cos\ 3x }$.