USP 2006 Matemática - Questões

Um comerciante compra calças, camisas e saias e as revende com lucro de $20\%$, $40\%$ e $30\%$, respectivamente. O preço $x$ que o comerciante paga por uma calça é três vezes o que ele paga por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma saia.

Um certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e obteve um desconto de $10\%$ sobre o preço total.

1. a) Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de $x$?
   

2. b) Qual o lucro aproximado, em porcentagem, obtido pelo comerciante nessa venda?
   

Uma função $f$ satisfaz a identidade $f(ax) = af(x)$ para todos os números reais $a$ e $x$. Além disso, sabe-se que $f(4) = 2$. Considere ainda a função $g(x) = f(x-1)+1$ para todo o número real $x$.

1. a) Calcule $g(3)$.
   

2. b) Determine $f(x)$, para todo $x$ real.
   

3. c) Resolva a equação $g(x)=8$.
   

A reta $s$ passa pela origem $O$ e pelo ponto $A$ do primeiro quadrante. A reta $r$ é perpendicular à reta $s$, no ponto $A$, e intercepta o eixo $x$ no ponto $B$ e o eixo $y$ no ponto $C$.

Determine o coeficiente angular de $s$ se a área do triângulo $OBC$ for o triplo da área do triângulo $OAB$.

Determine os números complexos $z$ que satisfazem, simultaneamente, $\left|z\right|=2$ e $\mathrm{Im}\left(\dfrac{z-i}{1+i}\right)=\dfrac{1}{2}$.

Lembretes: $i^2=-1$; se $w = a + bi$, com $a$ e $b$ reais, então $\left|w\right|=\sqrt{a^2+b^2}$ e $\mathrm{Im}\left(w\right)=b$.

Considere o sistema linear nas variáveis $x$,$y$ e $z$:

$$\left\{ \begin{array}{l} x + (\cos^2\ ⁡ a) y + (\hspace{2pt}\mathrm{sen}^2\ ⁡a ) z = 0 \\ x+(\cos^2\ ⁡b ) y + (\hspace{2pt}\mathrm{sen}^2\ ⁡ b) z = 0 \\ (\cos^2\ ⁡ c)y + (\hspace{2pt}\mathrm{sen}^2\ ⁡c )z=0 \end{array} \right.$$

1. a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear.
   

2. b) Para que valores de $a$, $b$ e $c$ o sistema linear admite soluções não triviais?
   

3. c) Calcule as soluções do sistema quando $\hspace{2pt}\mathrm{sen}^{2}\ a=1$ e $\cos^2\ c = \dfrac{1}{5}$ .