USP 2005 Matemática - Questões

Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto $A$, pagando R$ 96,00, e unidades do produto $B$, pagando R$ 84,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi de $26$ e que o preço unitário do produto $A$ excede em R$ 2,00 o preço unitário do produto $B$, determine o número de unidades de $A$ que foi comprado.

Diz-se que a matriz quadrada $A$ tem posto $1$ se uma de suas linhas é não-nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de $a$, $b$ e $c$ para os quais a matriz $3\times 3$

$$A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & \dfrac{1}{2} & 3 \\ 3a-b+2c & 1 & 6 \\ b+c-3a & \dfrac{1}{2} & c-2a+b \end{array}\right]$$

tem posto $1$.

Uma sequência de números reais $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\cdots$ satisfaz à lei de formação

$$a_{n+1}=6a_n,\ \text{se}\ n\ \text{é ímpar.}$$ $$a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n,\ \text{se}\ n\ \text{é par.}$$

Sabendo-se que $a_1=\sqrt{2}$,

1. a) Escreva os oito primeiros termos da sequência.
   

2. b) Determine $a_{37}$ e $a_{38}$.
   

Determine todos os valores de $x$ pertencentes ao intervalo $[0,\ 2\pi]$ que satisfazem a equação

$$\cos^2\ 2x=\dfrac{1}{2}-\hspace{2pt}\mathrm{sen}^2\ x$$

Seja $f(x) = ax^2 +(1 - a)x +1$, onde $a$ é um número real diferente de zero.

Determine os valores de $a$ para os quais as raízes da equação $f(x) = 0$ são reais e o número $x = 3$ pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes.