USP 1998 Matemática - Questões

1. a) Expresse $\hspace{2pt}\mathrm{sen}^3\ \alpha$ em função de $\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \alpha$.
   

2. b) Resolva a inequação $\hspace{2pt}\mathrm{sen}^3\ \alpha >\ 2\ \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \alpha$ , para $0<\alpha <\pi$.
   

$P(x)$ é um polinômio de grau $\mathrm{\ge}$ 2 e tal que $P(1)\ =\ 2$ e $P(2)\ =\ 1$. Sejam $D(x)\ =\ (x-2)(x-1)$ e $Q(x)$ o quociente da divisão de $P(x)$ por $D(x)$.

1. a) Determine o resto da divisão de $P(x)$ por $D(x)$.
   

2. b) Sabendo que o termo independente de $P(x)$ é igual a 8, determine o termo independente de $Q(x)$
   

500 moedas são distribuídas entre três pessoas $A, B$ e $C$, sentadas em círculo, da seguinte maneira: $A$ recebe uma moeda, $B$ duas, $C$ três, $A$ quatro, $B$ cinco, $C$ seis, $A$ sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes.

1. a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.)
   

2. b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?
   

Considere um ângulo reto de vértice $V$ e a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de raio 1 tem o seu centro $C$ nessa bissetriz e $VC=x$.

1. a) Para que valores de $x$ a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 4 pontos?
   

2. b) Para que valores de $x$ a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 2 pontos?
   

Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77.

Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.

1. a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cinco pontos extras.
   

2. b) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?