USP 1995 Matemática - Questões

Determine todos os valores de $m$ para os quais a equação $$\dfrac{mx}{4} -\dfrac{x-2}{m} =1$$

1. a) Admite uma única solução.
   

2. b) Não admite solução.
   

3. c) Admite infinitas soluções.
   

$A$, $B$ e $C$ são pontos de uma circunferência de raio $3\ \text{cm}$, $AB=BC$ e o ângulo $A\hat{B}C$ mede ${30}^\circ$.

1. a) Calcule, em $\text{cm}$, o comprimento do segmento $AC$.
   

2. b) Calcule, em $\text{cm}^2$, a área do triângulo $ABC$.
   

Considere a função $f\left(x\right) = \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ x + \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ 5x.$

1. a) Determine constantes $k$, $m$ e $n$ tais que $f\left(x\right)=\ k \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ (mx)\ \cos\ (nx)$.
   

2. b) Determine os valores de $x$, $0\le x\le \pi$, tais que $f(x)=0.$
   

1. a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos de $f(x)=2^x$ e $g\ (x)=2x$.
   

2. b) Baseado nos gráficos da parte a), resolva a inequação $2^x\le 2x$.
   

3. c) Qual é o maior: $2^{\sqrt{2}}$ ou $\ 2\sqrt{2}$? Justifique brevemente sua resposta
   

Sejam $A=\left(0,0\right)$, $B=\left(0,5\right)$ e $C=(4,3)$ pontos do plano cartesiano.

1. a) Determine o coeficiente angular da reta $BC$.
   

2. b) Determine a equação da mediatriz do segmento $BC$. O ponto $A$ pertence a esta mediatriz?
   

3. c) Considere circunferência que passa por $A$, $B$ e $C$. Determine a equação da reta tangente a esta circunferência na ponto $A$.