UNICAMP 2022 Matemática - Questões
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Um fabricante de produtos de beleza está modificando as dimensões da embalagem de seu principal produto, o shampoo antipiolhos chamado $100\pi \text{olho}$. Atualmente, as embalagens têm o formato de um paralelepípedo com $18 \ \text{cm}$ de altura e com base retangular de dimensões $2 \ \text{cm} \times 3 \ \text{cm}$. São utilizados dois tipos de materiais para construir a embalagem. O material utilizado tanto para a base quanto para a lateral é mais simples e custa R$ $10,00$ o metro quadrado. O material utilizado para a tampa custa R$ $40,00$ o metro quadrado, por ser mais resistente.
a) Qual o custo atual do material para construir $100$ embalagens?
b) Por questões logísticas, as novas embalagens devem ter o formato de um paralelepípedo com base quadrada e com altura de $12 \ \text{cm}$, e precisam ter a mesma capacidade volumétrica que as embalagens atuais. Quais as dimensões da nova embalagem e o custo de produção de $100$ delas, considerando os mesmos materiais para produção?
Heloísa está brincando com uma urna que contém dez bolinhas, sendo três azuis, três verdes e quatro rosas. Ela resolve construir uma sequência numérica $x_0, \ x_1, \ x_2,...$ do com as cores das bolinhas que sorteia da urna. O primeiro termo da sequência é $x_0=1$.
A cada sorteio, um novo termo da sequência é determinado multiplicando-se o termo anterior:
por $2$, se a bolinha sorteada for azul;
por $3$, se a bolinha sorteada for verde;
por $5$, se a bolinha sorteada for rosa.
A bolinha sorteada é devolvida para a urna antes do próximo sorteio. Por exemplo, se nos três primeiros sorteios Heloísa retira, respectivamente, uma bolinha rosa, uma verde e uma azul, então a sequência obtida é
$x_0=1$
$x_1=5 \ \cdot \ x_0=5$
$x_2=3 \ \cdot \ x_1=15$
$x_3=2 \ \cdot \ x_2=30$
a) É possível que Heloísa obtenha uma sequência contendo o termo $189$? Justifique.
b) Qual a probabilidade de Heloísa obter o número $360$ como termo de uma sequência?
Seja $a$ um número real e considere o polinômio $f(x)=x^3+(a+1)x^2+(a+2)x+2$, que tem $x=-1$ como uma de suas raízes.
a) Determine todos os valores de $a$ tais que $x=-1$ é a única raiz real.
b) Determine todos os valores de $a$ tais que as soluções de $f(x)=0$ sejam números inteiros.
Certo país adquiriu $5\ 000\ 000$ de doses das vacinas Alfa, Beta e Gama, pagando um preço de R$ 40 000 000,00 pelo total. Cada dose das vacinas Alfa, Beta e Gama custou R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 20,00, respectivamente.
Sabendo que o número de doses adquiridas da vacina Beta é o triplo do número de doses adquiridas da vacina Gama, o número de doses adquiridas da vacina Alfa foi de:
Dados os números reais positivos $a_{1}, a_{2},..., a_{n}$ a média geométrica $M$ destes termos é calculada por:
$$M=\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2} \cdots a_{n}}$$
A média geométrica de $1, 10, 100, ... , 10^{22}$ é:
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