UNICAMP 2019 Matemática - Questões

Sabendo que c é um número real, considere a função quadrática $f(x)=2x^2-3x+c$, definida para todo número real $x$.

1. a) Determine todos os valores de $c$ para os quais $f(-1)f(1)=f(-1)+f(1)$.
   

2. b) Sejam $p$ e $q$ números reais distintos tais que $f(p)=f(q)$. Prove que $p$ e $q$ não podem ser ambos números inteiros.
   

No plano cartesiano, considere a reta $r$ de equação $2x + y = 1$ e os pontos de coordenadas $A = (1,4)$ e $B = (3,2)$.

1. a) Encontre as coordenadas do ponto de intersecção entre a reta r e a reta que passa pelos pontos $A$ e $B$.
   

2. b) Determine a equação da circunferência na qual um dos diâmetros é o segmento $\overline{AB}$.
   

Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 2,

$$A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ a & b \end{array}\right]$$

1. a) Determine todos os valores de a e b para os quais $A^T A=AA^T$, em que $A^T$ é a transposta da matriz $A$.
   

2. b) Para $a = b = 2$, sejam k e $\theta$ números reais tais que $$A\ \left[\begin{array}{c} \\ \cos\ \theta\\ \\ \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \theta \\ \end{array}\right]=k\ \left[\begin{array}{c} \\ \cos\ \theta\\ \\ \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \theta \\ \end{array}\right]$$ Determine os possíveis valores de $\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ \theta$.
   

Uma população de certa espécie é constituída apenas por três tipos de indivíduos diploides, que diferem quanto ao genótipo em um loco. No total, há um número $N_{AA}$ de indivíduos com genótipo $AA$, $N_{Aa}$ de indivíduos com genótipo $Aa$, e $N_{aa}$ de indivíduos com genótipo aa. Considerando apenas o loco exposto no enunciado, a frequência do alelo $A$ nessa população é igual a

Os preços que aparecem no cardápio de um restaurante já incluem um acréscimo de 10% referente ao total de impostos. Na conta, o valor a ser pago contém o acréscimo de 10% relativo aos serviços (gorjeta). Se o valor total da conta for $p$ reais, o cliente estará desembolsando pelo custo original da refeição, em reais, a quantia de