UNICAMP 2015 Matemática - Questões

Seja $a$ um número real positivo e considere as funções afins $f\left(x\right)=ax+3a$ e $g\left(x\right)=9-2x$, definidas para todo número real $x$.

1. a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação $f\left(x\right)\ g\left(x\right)>0$
   

2. b) Encontre o valor de $a$ tal que $f\left(g\left(x\right)\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$ para todo número real $x$.
   

Considere a função $f(x)\ =\ 10^{1+x}\ +\ 10^{1-x}$, definida para todo número real $x$.

1. a) Mostre que$\ f({ {log}}_{10}(2\ +\ \sqrt{3}))$ é um número inteiro.
   

2. b) Sabendo que ${log}_{10}\ 2\ \approx 0.3$, encontre os valores de $x$ para os quais $f(x)\ =\ 52$.
   

Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão $q\ne \ 0\ \ e\ \ a\ \ne 0$.

a) Mostre que $x =\dfrac{ -1}{q}$ é uma raiz do polinômio cúbico $p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3.$

b) Sejam $e$ e $f$ números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis $x\ e\ y$,

$\left( \begin{array}{cc} a & c \\ d & b \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} e \\ f \end{array} \right).$ Determine para que valores da razão $q$ esse sistema tem solução única.

A tabela abaixo informa alguns valores nutricionais para a mesma quantidade de dois alimentos, A e B.

Considere duas porções isocalóricas (de mesmo valor energético) dos alimentos A e B. A razão entre a quantidade de proteína em A e a quantidade de proteína em B é igual a

Uma compra no valor de $1\ 000$ reais será paga com uma entrada de $600$ reais e uma mensalidade de $420$ reais.

A taxa de juros aplicada na mensalidade é igual a