UNICAMP 2014 Matemática - Questões

O peso médio (média aritmética dos pesos) dos 100 alunos de uma academia de ginástica é igual a 75 $kg$. O peso médio dos homens é 90 $kg$ e o das mulheres é 65 $kg$.

1. a) Quantos homens frequentam a academia?
   

2. b) Se não são considerados os 10 alunos mais pesados, o peso médio cai de 75 $kg$ para 72 $kg$. Qual é o peso médio desses 10 alunos?
   

Uma loteria sorteia três números distintos entre doze números possíveis.

1. a) Para uma aposta em três números, qual é a probabilidade de acerto?
   

2. b) Se a aposta em três números custa R$ 2,00, quanto deveria custar uma aposta em cinco números?
   

Sejam $a$ e $b$ reais. Considere as funções quadráticas da forma $f\ (x)\ =\ x^2\ +\ a\ x\ +\ b$, definidas para todo $x$ real.

1. a) Sabendo que o gráfico de $y\ =\ f\ (x)$ intercepta o eixo $y$ no ponto $(0,\ 1 )$ e é tangente ao eixo $x$, determine os possíveis valores de $e$.
   

2. b) Quando $a\ +\ b\ =\ 1$, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto.
   

Dizemos que uma sequência de números reais não nulos $(a_1,a_2,a_3,a_4,\dots )$ é uma progressão harmônica se a sequência dos inversos $\left(\dfrac{1}{a_{1} } ,\, \dfrac{1}{a_{2} } ,\, \dfrac{1}{a_{3} } ,\, \dfrac{1}{a_{4} } ,\, ...\right)$ é uma progressão aritmética (P.A.).

1. a) Dada a progressão harmônica $\left(\dfrac{2}{5} ,\, \dfrac{4}{9} ,\, \dfrac{1}{2} ,\, ...\right)$ encontre o seu sexto termo.
   

2. b) Sejam $a,\ b$ e $c$ termos consecutivos de uma progressão harmônica. Verifique que $b=\dfrac{2ac}{(a+c)}$.
   

A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa pela função $h(t)\ =\ 0,\ 5\ +\ \log_3\ (t\ +\ 1\ ),$ onde o tempo $t\ \ge \ 0$ é dado em anos.

1. a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de $0,5\ m$ para $1,5\ m$?
   

2. b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta $g(t)\ =\ h(3\ t\ +\ 2\ ).$ Verifique que a diferença $g(t)\ -\ h(t)$ é uma constante, isto é, não depende de t.