UNICAMP 2013 Matemática - Questões

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Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas estão em progressão geométrica de razão $q>1$.

  1. a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro de menor área.

  2. b) Calcule o volume dessa piscina, considerando $q=2$ e a área total do paralelepípedo igual a $252\ m^2$.

  3. c) Considere a $PG$ cujos termos inicial e final são o menor e o maior dimensão do sólido acima, respectivamente. Se inserirmos $3$ termos na $PG$ através de uma interpolação geométrica, qual será a nova razão?

Considere o polinômio $p\left(x\right)=x^2-11x+k+2$, em que x é variável real e $k$ um parâmetro fixo, também real.

  1. a) Para qual valor do parâmetro $k$ o resto do quociente de $p(x)$ por $x-1$ é igual a $3$?

  2. b) Supondo, agora,$\ k=4,$e sabendo que $a$ e $b$ são raízes de $p(x)$, calcule o valor de $sen\, \left(\dfrac{\pi }{a} +\dfrac{\pi }{b} \right)$

Considere a matriz $A_a=\left[ \begin{array}{cc} 1 & a \\ -\dfrac{1}{a} & -1 \end{array} \right]$ que depende do parâmetro real $a>O$ .

  1. a) Calcule a matriz$\ \left(A_a+A_{2a}\right.\ )^2$.

  2. b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas$\left[\dfrac{x}{y} \right]$ é transformado pela matriz $A_a$ em um novo ponto da seguinte forma: $$\left[\dfrac{x'}{y'}\right]=A_a\left\lceil \dfrac{x}{y}\right\rceil =\left[ \begin{array}{c} \\ x+ay \\ \\ -\dfrac{1}{a}x-y \end{array}\right]$$
    Calcule o valor de $a$, sabendo que o sistema $A_{a} \, \left[\dfrac{x}{y} \right]=\left[\dfrac{-6}{2} \right]$ admite solução.

A figura abaixo mostra a precipitação pluviométrica em milímetros por dia (mm/dia) durante o último verão em Campinas. Se a precipitação ultrapassar $30$ mm/dia, há um determinado risco de alagamento na região. De acordo com o gráfico, quantos dias Campinas teve este risco de alagamento?

(Fonte: http://www.agritempo.gov.br/agorclima/plotpesq. Acesso em 10/10/2012.)


Para repor o teor de sódio no corpo humano, o indivíduo deve ingerir aproximadamente 500 $mg$ de sódio por dia. Considere que determinado refrigerante de 350 $ml$ contém 35 $mg$ de sódio. Ingerindo-se 1.500 $ml$ desse refrigerante em um dia, qual é a porcentagem de sódio consumida em relação às necessidades diárias?


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