UNICAMP 2009 Matemática - Questões

Uma lâmpada incandescente de $100\ W$ custa R$ $2,00$. Já uma lâmpada fluorescente de $24\ W$, que é capaz de iluminar tão bem quanto a lâmpada incandescente de $100\ W$, custa R$ $13,40$. Responda às questões abaixo, lembrando que, em uma hora, uma lâmpada de $100\ W$ consome uma quantidade de energia equivalente a $100\ Wh$, ou $0,1\ kWh$. Em seus cálculos, considere que $1\ kWh$ de energia custa R$ $0,50$.

1. a) Levando em conta apenas o consumo de energia, ou seja, desprezando o custo de aquisição da lâmpada, determine quanto custa manter uma lâmpada incandescente de $100\ W$ acesa por $750\ \text{horas}$. Faça o mesmo cálculo para uma lâmpada fluorescente de $24\ W$.

2. b) Para iluminar toda a sua casa, João comprou e instalou apenas lâmpadas fluorescentes de $24\ W$. Fernando, por sua vez, comprou e instalou somente lâmpadas incandescentes de $100\ W$ para iluminar sua casa. Considerando o custo de compra da lâmpada e seu consumo de energia, determine quantos dias Fernando terá gasto mais com iluminação que João. Suponha que cada lâmpada fica acesa 3 horas por dia. Suponha, também, que as casas possuem o mesmo número de lâmpada.

Um casal convidou seis amigos para assistir a uma peça teatral. Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante.

1. A) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numeração consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas?

2. B) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente até a última fila. Determine o número de cadeiras da sala em função de $\mathbf{n}$, o número de filas que a sala contém. Em seguida, considerando que a sala tem 144 cadeiras, calcule o valor de $\mathbf{n}$.

Pedro precisa comprar $x$ borrachas, $y\ l\textrm{á}pis$ e $z$ canetas. Após fazer um levantamento em duas papelarias, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 23,00 pelo conjunto de borrachas, lápis e canetas, enquanto a papelaria B cobra R$ 25,00 pelo mesmo material. Em seu levantamento, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 2,00 pelo lápis e R$ 3,00 pela caneta e que a papelaria B cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 1,00 pelo lápis e R$ 4,00 pela caneta.

1. a) Forneça o número de lápis e de borrachas que Pedro precisa comprar em função do número de canetas que ele pretende adquirir.

2. b) Levando em conta que $x\ge 1,\ y\ge 1\ e\ z\ge 1$, e que essas três variáveis são inteiras, determine todas as possíveis quantidades de lápis, borrachas e canetas que Pedro deseja comprar.

Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água.

1. a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, 800 $g$ de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1,5 $g$ de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1,0 $g$ por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém.
   

2. b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos por metro cúbico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura de 2 $m$. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 7.200 peixes adultos da espécie considerada?
   

Seja $f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x$ + $a_0$ um polinômio de grau $\mathbf{n}$ tal que $a_{n\ }\ne O$ e $a_j\in\mathbb{R}$ para qualquer $j$ entre 0 e $n$. Seja $g\left(x\right)={na}_nx^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +{2a}_2x+a_1$ o polinômio de grau $n-1$ em que os coeficientes $a_1$,$a_2$... ,$a_n$ são os mesmos empregados na definição de $f(x)$.

1. a) Supondo que $n=2$, mostre que $g\left(x+\dfrac{h}{2} \right)\, \, =\, \, \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ , para todo $x$, $h\in \mathbb{R}$, $h\ne 0$.
   

2. b) Supondo que $n=3$ e que $a_3=1$, determine a expressão do polinômio $f(x)$, sabendo que $f\left(1\right)=g\left(1\right)=f\left(1\right)=0$.