UNICAMP 2008 Matemática - Questões

Uma passagem de ônibus de Campinas a São Paulo custa R$ 17,50. O preço da passagem é composto por R$ 12,57 de tarifa. R$ 0,94 de pedágio, R$ 3,30 de taxa de embarque e R$ 0,69 de seguro. Uma empresa realiza viagens a cada 15 minutos, sendo que o primeiro ônibus sai às 5 horas da manhã e o último, à meia-noite. No período entre o meio-dia e as duas horas da tarde, o intervalo entre viagens sucessivas é de 30 minutos.

1. a) Suponha que a empresa realiza todas as viagens previstas no enunciado e que os ônibus transportam, em média, 36 passageiros por viagem. Qual o valor arrecadado pela empresa, por dia, nas viagens entre Campinas e São Paulo, desconsiderando as viagens de volta?
   

2. b) Se a taxa de embarque aumentar 33,33% e esse aumento for integralmente repassado ao preço da passagem qual será o aumento percentual total do preço da passagem?
   

Dois atletas largaram lado a lado em uma corrida disputada em uma pista de atletismo com $400\ m$ de comprimento. Os dois atletas correram a velocidades constantes, porém diferentes. O atleta mais rápido completou cada volta em exatos $66$ segundos. Depois de correr $17$ voltas e meia, o atleta mais rápido ultrapassou o atleta mais lento pela primeira vez. Com base nesses dados pergunta-se:

1. a) Quanto tempo gastou o atleta mais lento para percorrer cada volta?
   

2. b) Em quanto tempo o atleta mais rápido completou a prova, que era de $10.000$ metros? No momento em que o atleta mais rápido cruzou a linha de chegada, que distancia o atleta mais lento havia percorrido?
   

Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu-se a altura $\left(y\right)$ do peso em função de sua distância horizontal $(x)$, medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo. Seja $y\left(x\right)=ax^2+bx+c$ a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso.

$$\begin{array}{cc} \textbf{Distância (m)} & \textbf{Altura (m)}\\ 1 &2,0\\ 2 & 2,7\\ 3 & 3,2 \end{array}$$

1. a) Determine os valores de $a,\ b$ e $c$
   

2. b) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso.
   

A escala de um aparelho de medir ruídos é definida como $R_{\beta }=12+{{\mathrm{log}}_{10} I\ }$, em que $R_{\beta }$ é a medida do ruído, em bels, e $I$ é a intensidade sonora, em $W/m^2$. No Brasil, a unidade mais usada para medir ruídos é o decibel, que equivale a um décimo do bel. O ruído dos motores de um avião a jato equivale a 160 decibéis, enquanto o tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade atinge 80 decibéis, que é o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano.

1. a) Escreva uma fórmula que relacione a medida do ruído $R_{d\beta }$, em decibéis, com a intensidade sonora $I$, em $W/m^2$. Empregue essa fórmula para determinar a intensidade sonora máxima que o ouvido humano suporta sem sofrer qualquer dano.

2. b) Usando a fórmula dada no enunciado ou aquela que você obteve no item (a), calcule a razão entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade.

Sejam dadas as funções $f(x)=px$ e $g(x)=2x+5$, em que $p$ é um parâmetro real.

1. a) Supondo que $p=-5$, determine para quais valores reais de $x$ tem-se $f(x)\cdot g(x)<0$.
   

2. b) Determine para quais valores de $p$ temos $g(x)\le f(x)$ para todo $x\in[-8,\ -1]$.