UNICAMP 2007 Matemática - Questões

Vários artigos hoje em dia fazem referência ao aumento da produção agrícola destinada à geração de energia:

As práticas agrícolas podem ser alteradas pela introdução de novas tecnologias, pela redefinição de culturas agrícolas, pela mudança na destinação dos plantios, pelas modificações na organização do trabalho. Tais alterações deixam marcas profundas na paisagem física e humana das regiões do país.

Esse fenômeno se verifica, por exemplo, no caso da cana-de-açúcar, usada na produção do álcool combustível. Uma parcela significativa da frota automobilística brasileira possui motor bicombustível, que pode funcionar tanto com álcool como com gasolina. Sabe-se, entretanto, que o consumo desses motores varia de acordo com o combustível utilizado. Nesta questão, consideramos um carro que é capaz de percorrer 9 km com cada litro de álcool e 12,75 km com cada litro de gasolina pura. Supomos, também, que a distância percorrida com cada litro de combustível é uma função linear da quantidade de álcool que este contém.

1. a) Quantos quilômetros esse carro consegue percorrer com cada litro de gasolina C (aquela que é vendida nos postos), que contém 80% de gasolina pura e 20% de álcool?

2. b) Em um determinado posto, o litro da gasolina C custa R$ 2,40 e do álcool custa R$ 1,35. Abastecendo-se nesse posto, qual combustível proporcionará o menor custo por quilômetro rodado? Justifique.

3. c) Suponha que, ao chegar a um posto, o tanque do carro já contivesse 1/3 de seu volume preenchido com gasolina C e que seu proprietário tenha preenchido 2/3 restantes com álcool. Se a capacidade do tanque é de 54 litros, quantos quilômetros o carro poderá percorrer com essa quantidade de combustível?

“Pão por quilo divide opiniões em Campinas” (Correio Popular, 21/10/2006). Uma padaria de Campinas vendia pães por unidade, a um preço de R$ 0,20 por pãozinho de $50\ g$. Atualmente, a mesma padaria vende o pão por peso, cobrando R$ 4,50 por quilograma do produto.

1. a) Qual foi a variação percentual do preço do pãozinho provocada pela mudança de critério para o cálculo do preço?

2. b) Um consumidor comprou 14 pãezinhos de $50\ g$, pagando por peso, ao preço atual. Sabendo que os pãezinhos realmente tinham o peso previsto, calcule quantos reais o cliente gastou nessa compra.

Por norma, uma folha de papel A4 deve ter $210\ mm\ \times \ 297\ mm$. Considere que uma folha A4 com $0,1\ mm$ de espessura é seguidamente dobrada ao meio, de forma que a dobra é sempre perpendicular à maior dimensão resultante até a dobra anterior.

1. a) Escreva a expressão do termo geral da progressão geométrica que representa a espessura do papel dobrado em função do número $\mathbf{k}$ de dobras feitas.

2. b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o papel seis vezes, quais serão as dimensões do paralelepípedo?

Um restaurante a quilo vende $100\ kg$ de comida por dia, a R$ $5,00$ o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a $5\ kg$ de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo, corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes.

1. a) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$ $18,00/kg$ ou para R$ $20,00/kg$?

2. b) Formule matematicamente a função $f(x)$, que fornece a receita do restaurante como função da quantia $x$, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição.

3. c) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível?

Dois prêmios iguais serão sorteados entre dez pessoas, sendo sete mulheres e três homens. Admitindo que uma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, responda às perguntas abaixo.

1. a) De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos entre as dez pessoas?
   

2. b) Qual é a probabilidade de que dois homens sejam premiados?
   

3. c) Qual é a probabilidade de que ao menos uma mulher receba um prêmio?