UNICAMP 2001 Matemática - Questões

Um fio de $48\ cm$ de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro.

1. a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio?

2. b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados?

O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural $n>1$ pode ser escrito como um produto de números primos. Além disso, se $n=p^{t_1}_1\cdot p^{t_2}_2\dots \ p^{t_r}_r$, onde $p_1,\ p_2,\ \dots ,\ p_r$ são números primos distintos, então o número de divisores positivos de $n$ é:

$$d\left(n\right)=\left(t_1+1\right)\cdot \left(t_2+1\right)\dots \ (t_r+1)$$

1. a) Calcule $D(168)$, isto é, o número de divisores positivos de $168.$
   

2. b) Encontre o menor número natural que tem exatamente $15$ divisores positivos.
   

Considere três circunferências em um plano, todas com o mesmo raio $r=2\ cm$ e cada uma delas com centro em um vértice de um triângulo equilátero cujo lado mede $6\ cm$. Seja C a curva fechada de comprimento mínimo que tangencia externamente as três circunferências.

1. A) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências.

2. B) Calcule o comprimento da curva C.

Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa 5,00 reais, o quilo da castanha de caju, 20,00 reais e o quilo da castanha-do-pará, 16,00 reais. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de 5,75 reais. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.

1. a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.

2. b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.

O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se:

1. a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes?

2. b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos estejam em ordem crescente?