UFPR 2006 Matemática - Questões

Uma empresa possui uma máquina que fabrica discos de metal a partir da especificação do raio $r$. O controle de qualidade dessa empresa detectou que essa máquina está produzindo discos de raio maior que o especificado, ocasionando um desperdício de material acima do esperado. Para quantificar o erro $E$ cometido na fabricação de um disco de raio $r+x$ o controle de qualidade utiliza a seguinte expressão: $$E=A\left(r+x\right)-A\left(r\right)$$

Sendo $A\left(r\right)$ a área do disco de raio $r$ e $A\left(r+x\right)$ a área do disco de raio $r+x$, com $x>0$.

Fixando $r=10\ \text{cm}$, resolva os itens abaixo.

1. a) Qual é o erro$\ E$ cometido na fabricação de um disco de raio$\ 10,5\ \text{cm}$?
   

2. b) O controle de qualidade dessa empresa estipulou que o erro máximo aceitável na fabricação desses discos é de 1% do valor da área $A\left(r\right)$. Para atender essa exigência, qual é o valor máximo permitido para $x$?
   

Considere os números complexos $z=\cos\ \dfrac{\pi }{18} +\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \dfrac{\pi }{18} i$ e $w=2\left(\cos\ \dfrac{\pi }{9} +i\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \dfrac{\pi }{9} \right)$.

1. a) Mostre que o produto $z\cdot w$ é igual a $\sqrt{3}+i$.
   

2. b) Mostre que $z^{18}$ é igual a $-1$.
   

Considere o seguinte sistema linear:

$$\begin{cases}mx+4y+5z=m+1 \\ 2x+\left(m-1\right)y+(m+1)\ z=4 \\ x+y+2z=2 \end{cases}$$

Sabendo que esse sistema é possível para qualquer $m$ real:

1. a) Resolva o sistema para $m=2$.
   

2. b) Encontre os valores de $m$ que tornam esse sistema indeterminado.