UFPR 2004 - Questões

Em um campeonato de futebol, cada equipe ganha 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto por derrota. Em uma edição desse campeonato, o São Bento Futebol Clube ganhou pontos em apenas 12 jogos, atingindo 30 pontos, e foi derrotado em 6 jogos. Sobre a participação do São Bento Futebol Clube nesse campeonato, é correto afirmar:

1. a) Disputou 18 jogos.
   

2. b) Empatou mais jogos do que perdeu.
   

3. c) Venceu exatamente 7 jogos.
   

4. d) Não empatou em 15 jogos.
   

5. e) Se cada vitória valesse apenas 2 pontos, teria atingido o total de 21 pontos.
   

Sabendo-se que $i$, $3$ e $\left(\dfrac{1}{2} +i\dfrac{\sqrt{3} }{2} \right)^{14}$ são raízes de $p\left(x\right)=x^6-6x^5+7x^4-x^3+18x^2+ax+12$, onde $i$ é a unidade imaginária e $a$ é número real, é correto afirmar:

1. a) 1 também é raiz de $p\left(x\right)$.
   

2. b) 4 também é raiz de $p\left(x\right)$.
   

3. c) O produto das raízes de $p\left(x\right)$ é 14.
   

4. d) $p\left(x\right)$ é divisível por $x^2+x+1$.
   

Considere as matrizes $$A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & {\cos\ \varphi \ } \\ 2^b & c \end{array} \right] \ \qquad \text{e} \qquad \ B=\left[ \begin{array}{cc} 3^{a+2b}\ & {{\log}_{10} \sqrt{10}\ } \\ \dfrac{1}{2} & {{\log}_{10} \sqrt{5}\ } \end{array} \right]$$ onde $a$, $b$, $c$ e $\varphi$ são números reais. Assim, é correto afirmar:

1. a) Os valores de $a$ e $b$ para os quais $A=B$ são, respectivamente, $2$ e $-1$.
   

2. b) Para que a matriz $A$ seja igual à matriz $B$, é necessário que $c$ seja número negativo.
   

3. c) Se $b=0$ e $c=-1$, então o elemento na posição "2ª linha, 2ª coluna" da matriz $\left(A\cdot B\right)$ é ${{\log}_{10} \sqrt{2}\ }$.
   

4. d) Se $=0$ e $c=0$, então a matriz $A$ tem inversa, qualquer que seja o valor de $b$.
   

5. e) Todos os valores de $v$ para os quais $A=B$ são da forma $2k\pi \pm \dfrac{\pi }{3}$, onde $k$ é número inteiro.
   

Uma pessoa de $2\ \text{m}$ de altura, passeando pela cidade, caminha em linha reta em uma rua horizontal, na direção da portaria de um edifício. A pessoa para para ver o topo desse edifício, o que a obriga a olhar para cima num ângulo de 30 graus com a horizontal. Após caminhar $49\ \text{m}$, para uma segunda vez para ver o topo do edifício e tem que olhar para cima num ângulo de 45 graus com a horizontal. Suponha que cada andar do edifício tenha $3\ \text{m}$ de altura. Utilize $\sqrt{3}\cong 1,7$. Nessa situação, é correto afirmar:

1. a) O edifício tem menos de 30 andares.
   

2. b) No momento em que a pessoa para pela primeira vez, ela está a $160\ \text{m}$ da portaria do edifício.
   

3. c) Quando a pessoa para pela segunda vez, a distância em que ela se encontra da portaria é igual à altura do edifício.
   

4. d) Se, depois da segunda vez em que para, a pessoa caminhar mais $35\ \text{m}$ em direção à portaria, para ver o topo do edifício será necessário erguer os olhos num ângulo maior do que 60 graus com a horizontal.
   

Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, a equação de uma circunferência $C$ é $x^2+y^2-2y-7=0$. Sabe-se que as retas $r$ e $s$ são perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto $(2,~3)$, e que $r$ contém o centro da circunferência $C$. Assim, é correto afirmar:

1. a) O ponto $(2,\ 3)$ pertence à circunferência $C$.
   

2. b) A reta s é tangente à circunferência $C$.
   

3. c) A circunferência $C$ intercepta o eixo $y$ nos pontos de ordenadas $1+2\sqrt{2}$ e $1-2\sqrt{2}$
   

4. d) A reta $s$ tem coeficiente angular menor que $-1$.
   

5. e) A reta $t$, paralela à reta $s$ e que passa pela origem do sistema de coordenadas, não intercepta a circunferência $C$.