UFF 2012 Matemática - Questões

Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

1. a) O número $x = \left(\dfrac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} - 2\sqrt{2}\right)$ é irracional;
   

2. b) O valor da expressão $\dfrac{x^2 - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x}\cdot\dfrac{x}{x + 2}$, quando $x = 9876$, é igual a $\dfrac{1}{9874}$;
   

3. c) Se $x = 0,001$, então $\dfrac{x^3\cdot3^x}{3^{x-1}\cdot x^4} = 1000$;
   

4. d) O valor real de $x$ que torna a igualdade $\log_{10}\ (-\log_{10}\ x^3 + \log_{10}\ x) = 1$ verdadeira é menor do que um.
   

Colocando-se $24\ \text{litros}$ de combustível no tanque de uma caminhonete, o ponteiro do marcador, que indicava $\dfrac{1}{4}$ do tanque, passou a indicar $\dfrac{5}{8}$.

Determine a capacidade total do tanque de combustível da caminhonete. Justifique sua resposta.

Fixado um sistema de coordenadas retangulares no plano, sejam $T$ o triângulo cujos vértices são os pontos $(-2,0)$, $(2,0)$ e $(0,3)$, e $R$ o retângulo de vértices $(-x ,0)$, $(x,0)$, $0 < x < 2$, e cujos outros dois vértices também estão sobre os lados de $T$.

Determine o valor de $x$ para o qual a área de $R$ é máxima. Justifique sua resposta.

Esboce, no sistema de eixos coordenados abaixo, o gráfico de uma função real cujo domínio é o intervalo $[1,2]$ e cuja imagem é o conjunto $[-2,-1] \cup [2,3]$.

Dado um conjunto $A$, o conjunto das partes de $A$, denotado por $P(A)$, é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de $A$.

Se $A$ tem $10$ elementos, determine:

1. a) O número de subconjuntos de $A$ que possuem exatamente dois elementos;
   

2. b) A probabilidade de que, ao se escolher aleatoriamente um elemento de $P(A)$, esse seja um subconjunto de $A$ com exatamente dois elementos.