UFF 2010 Matemática - Questões
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a) Escreva o número $306$ como produto de números primos.
b) Considere os números naturais $a = 2^{17} \cdot 3 ^{28} \cdot 7^{10}$ e $b = 2^9 \cdot 5^2 \cdot 7^{16}$. Escreva o maior divisor comum e o menor múltiplo comum de $a$ e $b$ como produto de potências de números primos.
c) Quantos divisores inteiros positivos o número $b = 2^9 \cdot 5^2 \cdot 7^{16}$ possui?
Dois dados cúbicos não viciados, cujas faces estão numeradas de $1$ a $6$, são jogados aleatoriamente e simultaneamente sobre uma mesa plana. Se a soma dos valores sorteados(*) for um número par, Paulo ganha a partida. Se a soma for um número ímpar, Lúcia ganha. Ao perder a primeira partida, Lúcia diz que não irá mais jogar porque a regra favorece Paulo. Seu argumento é o seguinte: dentre os onze valores possíveis para a soma (os inteiros de $2$ a $12$), há seis números pares e apenas cinco números ímpares. Logo, Paulo tem maior probabilidade de ganhar.
a) Calcule a probabilidade de Lúcia ganhar uma partida. Justifique sua resposta.
b) Use o item a para verificar se o argumento de Lúcia está correto.
(*) Valor sorteado é o número escrito na face do cubo oposta à face que está apoiada na mesa
Determine uma equação para cada reta que passa pelo ponto $(2, 4)$ e intercepta o gráfico da função $f$ definida por $f(x) = x^2$ em um único ponto.
A Escala de Palermo foi desenvolvida para ajudar especialistas a classificar e estudar riscos de impactos de asteroides, cometas e grandes meteoritos com a Terra. O valor $P$ da Escala de Palermo em função do risco relativo $R$ é definido por
$$P = \log_{10}\ (R).$$
Por sua vez, $R$ é definido por
$$R = \dfrac{\sigma}{f \cdot \Delta T}$$
sendo $\sigma$ a probabilidade de o impacto ocorrer, $\Delta T$ o tempo (medido em anos) que resta para que o impacto ocorra e
$$f = 0,03 \cdot E^{\frac{-4}{5}}$$
a frequência anual de impactos com energia E (medida em megatoneladas de TNT) maior do que ou igual à energia do impacto em questão.
(Fonte: http://neo.jpl.nasa.gov/risk/doc/palermo.html)
Utilize os dados acima e assinale a opção correta.
Em $1596$, em sua obra Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler estabeleceu um modelo do cosmos onde os cinco poliedros regulares são colocados um dentro do outro, separados por esferas. A ideia de Kepler era relacionar as órbitas dos planetas com as razões harmônicas dos poliedros regulares.
A razão harmônica de um poliedro regular é a razão entre o raio da esfera circunscrita e o raio da esfera inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um poliedro regular é aquela que contém todos os vértices do poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é aquela que é tangente a cada uma das faces do poliedro.
A razão harmônica de qualquer cubo é igual a:
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