PUC-RJ 2016 Matemática - Questões

Resolva as inequações abaixo (com $x\in \mathbb{R}$), justificando sua resposta.

1. a) $2+x\le \sqrt{5}$
   

2. b) $\sqrt{2+x}\le \sqrt{5}$
   

3. c) $\sqrt{2+\sqrt{2+x}}\le \sqrt{5}$
   

4. d) $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}\le \sqrt{5}$
   

Seja a função real $h\left(x\right)=1-x^2$:

1. a) Calcule a área do triângulo de vértices $\left(-1,\ \ h\left(-1\right)\right)$, $\left(0,\ \ h\left(0\right)\right)$ e $\left(1,\ \ h\left(1\right)\right)$. Justifique sua resposta.
   

2. b) Calcule a área do triângulo de vértices $\left(0,\ h\left(0\right)\right)$, $\left(\dfrac{1}{2} ,\ h\left(\dfrac{1}{2} \right)\right)$ e $\left(1,\ \ h\left(1\right)\right)$. Justifique sua resposta.
   

3. c) Calcule a área do polígono convexo de vértices $\left(-1,\ h\left(-1\right)\right)$, $\left(-\dfrac{3}{4} ,\ h\left(-\dfrac{3}{4} \right)\right)$, $\left(-\dfrac{1}{2} ,\ h\left(-\dfrac{1}{2} \right)\right)$$\left(-\dfrac{1}{4} ,\ h\left(-\dfrac{1}{4} \right)\right)$, $\left(0,\ h\left(0\right)\right)$, $\left(\dfrac{1}{4} ,\ h\left(\dfrac{1}{4} \right)\right)$, $\left(\dfrac{1}{2} ,\ h\left(\dfrac{1}{2} \right)\right)$, $\left(\dfrac{3}{4} ,\ h\left(\dfrac{3}{4} \right)\right)$ e $\left(1,\ h\left(1\right)\right)$. Justifique sua resposta.
   

Seja $f\left(\text{x}\right)=\left|\dfrac{x^{2} }{2} -2\right|$.

1. a) Para quais valores reais de $x$ temos $f\left(x\right)=1$?
   

2. b) Para quais valores reais de $x$ temos $f\left(x\right)\le 1$?
   

Sejam os pontos $A=\left(0,\ 0\right)$ e $B=\left(3,\ 4\right)$.

1. a) Qual é a distância entre $A$ e$\ B$?
   

2. b) Sabemos que a área do triângulo $ABC$ é igual a $4$ e que o vértice $C$ pertence à reta de equação $x+y=2$. Determine o ponto $C$.
   

Temos um baralho comum, com 52 cartas, das quais 4 são asses.

a) Tiramos uma carta ao acaso. Qual é a probabilidade de que ela seja um ás?

b) Tiremos (do baralho completo) 5 cartas (simultaneamente). Qual é a probabilidade de que, entre essas cartas, não haja nenhum ás?