ITA 2018 Matemática - Questões

Os lados de um triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ medem $AB=3\text{ cm}$, $BC=7\text{ cm}$ e $CA=8\text{ cm}$. A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado $\overline{AB}$ no ponto $N$ e o lado $\overline{CA}$ no ponto $K$. Então, o comprimento do segmento $\overline{NK}$, em $\text{cm}$, é

Se $x$ é um número real que satisfaz $x^3=x+2$, então $x^{10}$ é igual a

Sejam $a$ e $b$ números inteiros positivos. Se $a$ e $b$ são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ e o termo independente de $\left(ax-\frac{b}{\sqrt{x}}\right)^{12}$ é igual a $7920$, então $a+b$ é

Considere as funções $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dadas por $f(x)=ax+b$ e $g(x)=cx+d$, com $a$, $b$, $c$, $d\in\mathbb{R}$, $a\ne 0$ e $c\ne 0$. Se $f^{-1}\circ g^{-1} = g^{-1}\circ f^{-1}$, então uma relação entre as constantes $a$, $b$, $c$ e $d$ é dada por

Sejam $x_1,\dots ,x_5$ e $y_1,\dots ,y_5$ números reais arbitrários e $A=(a_{ij})$ uma matriz $5\times 5$ definida por $a_{ij}=x_i +y_j$, $1\le i$, $j\le 5$. Se $r$ é a característica da matriz $A$, então o maior valor possível de $r$ é