ITA 2015 Matemática - Questões

Considere  as seguintes afirmações sobre números reais:

• I - Se a expansão decimal de $x$ é infinita e periódica, então $x$ é um número racional.

• II - $\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(\sqrt2-1)\sqrt{2^n}}}=\frac{\sqrt2}{1-2\sqrt2}$

• III - $\ln{\sqrt[3]{e^2}}+(\log_4{9})$ é um número racional.

É (são) verdadeira(s):

Sejam $A$, $B$ e $C$ os subconjuntos de $\mathbb{C}$ definidos por $A=\{z\in \mathbb{C}:|z+2-3i|<\sqrt{19}\}$, $B=\{z\in\mathbb{C}:|z+i|<7/2\}$ e $C=\{z\in\mathbb{C}:z^2+6z+10=0\}$. Então $(A\backslash B)\cap C$ é o conjunto

Se $z=\left(\frac{1+\sqrt3i}{1-\sqrt3i}\right)^{10}$, então o valor de $2\arcsin{(\text{Re}(z))+5\arctan(2\text{Im}(z))}$ é igual a

 Seja $C$ uma circunferência tangente simultaneamente às retas $r:3x+4y-4=0$ e $s:3x+4y-19=0$. A área do círculo determinado por $C$ é igual a

Seja $(a_1,a_2,a_3, \cdots)$ a sequência definida da seguinte forma: $a_1=1$, $a_2=1$ e $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ para $n\geq3$. Considere as afirmações a seguir:

• I - Existem três termos consecutivos, $a_p$, $a_{p+1}$, $a_{p+2}$, que, nesta ordem, formam uma progressão geométrica.

• II - $a_7$ é um número primo.

• III - Se $n$ é múltiplo de $3$, então $a_n$ é par.

É (são) verdadeira(s)