ITA 2003 Matemática - Questões

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Seja $z \in \mathbb{C}$. Das seguintes afirmações independentes:

  • I. Se $\omega = {{2iz^2+5\overline{z}-i}\over {1+3\overline{z}^2 + 2iz + 3|z|^2+2|z|}}$ então $\overline{\omega}={{-2i \overline{z}^2+5z+i} \over {1+3z^2-2i\overline{z}+3|\overline{z}|^2+2|z|}}$ .

  • II. Se $z \neq 0$ e $\omega = {{2iz+3i+3}\over {(1+2i)z}}$ , então $|\omega| \leq {{2|z|+3 \sqrt2}\over {\sqrt5 |z|}}$.

  • III. Se $\omega={{(1+i)z^2}\over {4 \sqrt3 + 4i}}$ , então $2 \arctan z + \frac{\pi}{12}$ é um argumento de $\omega$.

é(são) verdadeira(s):


O valor de $y^2 – xz$ para o qual os números $\sin \frac{\pi}{12},  x, y, z$ e $\sin 75^\circ$ , nesta ordem, formam uma progressão aritmética, é:


Considere a função $$f:\mathbb{Z}\setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \text{ } f(x) = \sqrt{3^{x-2}}\left(9^{2x+1}\right)^{1/(2x)}-\left(3^{2x+5}\right)^{1/x}+1$$ A soma de todos os valores de $x$ para os quais a equação $y^2 + 2y + f(x) = 0$ tem raiz dupla é:


Considere uma função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ não-constante e tal que $f (x + y) = f(x)f(y)$ , $\forall x, y \in \mathbb{R}$.

Das afirmações:

  • I. $f(x) \gt 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

  • II. $f(nx) = [f(x)]^n$ , $\forall x \in \mathbb{R}$ , $\forall n \in \mathbb{N}$*.

  • III. f é par.

é(são) verdadeira(s):


Considere o polinômio $P(x) = 2x +a_2{x}^2 + … + a_n x^n$ , cujos coeficientes $2, a_2, … , a_n$ formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão $q \gt 0$. Sabendo que $-\frac{1} {2}$ é uma raiz de $P$ e que $P(2) = 5 460$, tem-se que o valor de $\frac{n^2-q^3}{q^4}$ é igual a:


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