IME 2019 Matemática - Questões
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Aristeu e seu irmão nasceram nos séculos $XX$ e $XXI$, respectivamente. Neste ano, $2018$, os dois já fizeram aniversário e a idade de cada um deles é a soma dos três últimos dígitos do ano de seu respectivo nascimento. Qual é a soma das idades dos dois irmãos?
Um jogo de dominó possui $28$ peças com duas pontas numeradas de zero a seis, independentemente, de modo que cada peça seja única, conforme ilustra a Figura $1$.
O jogo se desenrola da seguinte forma:
1. Quatro jogadores se posicionam nos lados de uma mesa quadrada.
2. No início do jogo, cada jogador recebe um conjunto de $7$ peças, de forma aleatória, de modo que somente o detentor das peças possa ver seu conteúdo.
3. As ações ocorrem por turnos no sentido anti-horário.
4. O jogador com a peça $6 \mid 6$ coloca-a sobre a mesa e em seguida cada jogador, na sua vez, executa uma de duas ações possíveis:
a. Adiciona uma de suas peças de forma adjacente a uma das duas extremidades livres do jogo na mesa, de modo que as peças sejam encaixadas com pontas de mesmo valor.
b. Passa a vez, caso não possua nenhuma peça com ponta igual a uma das extremidades livres da mesa.
5. Vence o jogo o primeiro jogador que ficar sem peças na mão.
No jogo da Figura $2$, é a sua vez de jogar e você constatou que o jogador à sua direita não possui peças com ponta $5$ e o jogador à sua frente não possui peças com ponta $0$. Você analisou todas as possíveis configurações de peças que os jogadores podem ter em suas mãos e decidiu jogar de modo a garantir que uma das pontas livres da mesa só possa ser usada por uma peça de sua posse, e que esta será a sua última peça em mão. Ao utilizar essa estratégia:
a) Quantas configurações de peças nas mãos dos jogadores garantem a vitória do jogo a você?
b) Esta quantidade corresponde a qual percentual do total de configurações possíveis?
Os ângulos $\theta_{1}{,} \ \theta_{2}{,} \ \theta_{3}{,} \ldots {,} \ \theta_{100}$ são os termos de uma progressão aritmética na qual $\theta_{11} + \theta_{26} + \theta_{75} + \theta_{90} = \frac{\pi}{4}$. O valor de $\sin{(\sum^{100}_{i = 1} \theta_{i})}$ é:
Definimos a função $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ da seguinte forma:$$\begin{cases} f(0) = 0 \\ f(1) = 1 \\ f(2n) = f(n){,} \ \ \ \ \ \ n \geq 1 \\ f(2n + 1) = f(n) + 2^{\lfloor \log_{2}{n} \rfloor}{,} \ \ \ \ n \geq 1 \end{cases}$$Determine $f(f(2019))$.
Calcule o valor do determinante:$$\begin{vmatrix} 4 & 2 & 1 \\ \log{81} &\log{900} &\log{300} \\ (\log{9})^2 & 2 + 4 \log{3} + 2(\log{3})^2 & (\log{3} + 2)^2 \end{vmatrix}$$
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