IME 2007 Matemática - Questões

Sejam $z$ e $w$ números complexos tais que:$$\begin{cases} w^2-z^2=4+12i \\ \overline{z}-\overline{w}=2+4i\end{cases}$$

onde $\overline{z}$ e $\overline{w}$ representam, respectivamente, os números complexos conjugados de $z$ e $w$. O valor de $z+w$ é:

Considere as matrizes $A = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$, e seja $P$ uma matriz inversível tal que $B = P^{-1}AP$. Sendo $n$ um número natural, calcule o determinante da matriz $A^{n}$.

Seja $N$ um número inteiro de $5$ algarismos. O número $P$ é construído agregando-se o algarismo $1$ à direita de $N$ e o número $Q$ é construído agregando-se o algarismo $1$ à esquerda de $N$. Sabendo-se que $P$ é o triplo de $Q$, o algarismo das centenas do número $N$ é:

Considere uma sequência de triângulos retângulos cuja lei de formação é dada por

               $a_{K+1} = \frac{2}{3} a_{K}$

               $b_{K+1} = \frac{4}{5} b_{K}$

onde $a_K$ e $b_K$, para $K \geq 1$, são os comprimentos dos catetos do K-ésimo triângulo retângulo. Se $a_{1} = 30 \ cm$ e $b_{1} = 42 \ cm$, determine o valor da soma das áreas de todos os triângulos quando $K \rightarrow \infty$.

Um quadrado de lado igual a um metro é dividido em quatro quadrados idênticos. Repete-se esta divisão com os quadrados obtidos e assim sucessivamente por $n$ vezes. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. Quando $n → ∞ $, a soma em metros dos perímetros dos quadrados hachurados em todas as etapas é: