Considere as matrizes $A=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{3}{4}\end{array}\right]$ e $B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$, e seja $P$ uma matriz inversível tal que $B=P^{-1}AP$. Sendo $n$ um número natural, calcule o determinante da matriz $A^n$.