IME 2006 Matemática - Questões

Sejam $a_1 = 1 – i$, $a_n = r+si$ e $a_{n+1} = (r - s) + (r + s)i (n > 1)$ termos de uma sequência. Determine, em função de $n$, os valores de $r$ e $s$ que tornam esta sequência uma progressão aritmética, sabendo que $r$ e $s$ são números reais e $i=\sqrt{-1}$.

Considere o polinômio

$$ \\ p( x)=x^5-3 x^4-3 x^3+27 x^2−44 x+30$$

Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a $3-i$ e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não-nulas, calcule todas as raízes do polinômio.

Um trapézio $ABCD$, de base menor $AB$ e base maior $CD$, possui base média $MN$. Os pontos $M^\prime$ e $N^\prime$ dividem a base média em três segmentos iguais, na ordem $MM^\prime N^\prime N$. Ao se traçar as retas $AM^\prime$ e $BN^\prime$, verificou-se que as mesmas se encontraram sobre o lado $CD$ no ponto $P$. Calcule a área do trapézio $M^\prime N^\prime CD$ em função da área de $ABCD$.

Seja $D_n = det(A_n)$, onde

$$ \\ An =\begin{bmatrix} 2&-1&0&0&\cdots &0&0 \\ -1&2&-1&0&\cdots &0&0 \\ 0&-1&2&-1& \cdots & 0&0 \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&2&-1\\0&0&0&0&\cdots&-1&2 \end{bmatrix}_{n\times n}$$

Determine $D_n$ em função de $n$ $(n\in \mathbb{N}, n\geq 1)$.

Determine os valores de $x$, $y$, $z$ e $r$ que satisfazem o sistema

$$C_{r+y}^r=log_y{x}$$

$$log_y{z}=4+ log_x{z}$$

$$C_{r+y}^y =log_x{z}+log_z{z}$$

onde $C_m^p$ representa a combinação de m elementos tomados $p$ a $p$ e $log_c^B$ representa o logaritmo de $B$ na base $c$.